数学分析教程 第六章学习感受

进度一下慢了下来，主要原因是我上班了！而且每天早上六点半起床，晚上如果不加班，七点半到家，不能像以前那么随意的学习了。但我还是坚持了下来。
这一章讲的是定积分。在《高等数学》中，大约讲3个重要的内容，1是黎曼积分的含义：分割、求和、再取极限，从中还可以求解一些之前做起来很麻烦的极限；2是newton-leibniz公式，这是处理定积分的关键，将一堆合式的极限，转化为求解原函数以后带入积分限；3是变上限函数求导。但是在讲述的过程中，留下了重大的疑问：到底什么函数才是可积的？在newton-leibniz公式的证明中，是先假设可积，然后通过特殊的分割来完成证明的。如今，在《数学分析》中，通过darboux和，我终于明白了到底什么函数是可积的——下面3句话等价：
（1）f在[a,b]上可积；
（2）当分割越来越密时，所有的小区间的振幅*小区间的宽度的和等于0；
（3）上积分等于下积分。
这本书还有一点值得推荐的是，在说明完可积性理论之后。引入了Lebesgue定理，从零测度的观点，说明黎曼可积的充要条件是[a,b]上的不连续点事一个零测集。通过这个定理，f可积，|f|也可积；f、g可积,f*g可积；f在大区间上可积，那么f在小区间上也可积；f在[a,c],[c,b]上可积，那么f在[a,b]上可积等等定理就变成显然的了。
虽然测度等内容是属于实变函数的，这也印证了龚昇教授的观点：
“ 数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。”
就是通过更加“高等”的数学工具，原来一些复杂的问题能够更加容易的求解。
本章的最后，还讲了一点数值积分的内容，就是最简单的梯形法。这也是本书的特色，跟数值计算联系比较紧密。这也会造成一些争议：《数学分析》到底是讲“纯”微积分的内容，还是更加突出这门课在数学系的基础地位，让它跟后续的各个课程都联系起来。个人觉得，可以发生联系，但是太远的内容就算了：比如跟数值计算、实变函数有点联系还是不错的；但是第二章的那个混沌现象连在一起就有点远了。