算法导论 4.1-2

问题

证明的解为O(nlgn)。证明这个递归的解也是Ω(nlgn)。得到的解为Θ(nlgn)

分析

证明：假设递归式的解为O(nlgn)，则
所以
所以当c>=1时，T(n)<=cnlgn，即T(n)=O(nlgn)

假设递归式的解也是Ω(nlgn),则
所以存在n0和c，当n>=n0时，T(n)>=2c(n/2-1)lg(n/2-1)+n=c(n-2)lg(n-2)+(1-c)n+2c>=c(n-2)lg(n-2)+(1-c)n
上式不能证明递归式的解是Ω(nlgn)，我们改变猜测，使递归式的解是 Ω(nlg(n+2))
这样可得T(n)>=cnlg(n+2)-2clg(n+2)-cn+2c+n>=cnlg(n+2)+(1-c)n-2clg(n+2)
因为lg(n+2)<=lg(n*n)=2lgn，所以T(n)>=cnlg(n+2)+(1-c)n-4clgn
因为多项式函数比指数函数增长的快，所以只要1-c>=0，那么必然存在n1，当n>=n1时， (1-c)n-4clgn>=0，即此种情况下T(n)=Ω(nlg(n+2))
又因为nlg(n+2) > nlgn，所以nlg(n+2)=Ω(nlgn)。由传递性的T(n)=Ω(nlgn)
T(n)=O(nlgn)和T(n)=Ω(nlgn)，可得T(n)=Θ(nlgn)