【算法】最短路径之Dijkstra（I）

1.算法描述

lowcost[i]记录源点到点i的最短距离，visit[i]表示点i已被访问过，Un表示未访问节点的集合， Vi表示已访问节点的集合。

(1)寻找具有最小lowcost值的节点j

(2)将(1)中节点j标记已访问，visit[ j ]=1，并更新lowcost数组

(3)直至访问完所有节点，即Un为空。

在源代码中，min_node表示节点j，min_lowcost表示最小lowcost。

2. 问题

2.1 POJ 2387

注意：有重边（即一条边可能有多次输入），边的长度不是题目中1~100。

memset(,inf,)函数不能这样用。

源代码：

2387Accepted4084K79MSC1269B2013-07-15 10:35:52

#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#define MAX 1000#define inf 0xffffffint dis[MAX][MAX];void init(int T,int N){int i,j,from,to,len;for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<i;j++)dis[i][j]=dis[j][i]=inf;dis[i][i]=0;}for(i=1;i<=T;i++){scanf("%d%d%d",&from,&to,&len);if(len<dis[from-1][to-1])dis[from-1][to-1]=dis[to-1][from-1]=len;}}int smaller(int be,int af){return be<=af?be:af;}void dijkstra(int N){int i,count=1,min_lowcost,min_node;int *lowcost=(int *) malloc(N*sizeof(int));int *visit=(int *) malloc(N*sizeof(int));    for(i=0;i<N;i++){lowcost[i]=inf;visit[i]=0;}lowcost[N-1]=0;visit[N-1]=1;min_node=N-1;while(count<=N){        min_lowcost=inf; for(i=0;i<N-1;i++){if(!visit[i]&&dis[min_node][i]!=inf)lowcost[i]=smaller(lowcost[i],lowcost[min_node]+dis[min_node][i]);}for(i=0;i<N-1;i++)if(!visit[i]&&lowcost[i]<min_lowcost){min_lowcost=lowcost[i];min_node=i;}visit[min_node]=1;     count++;}printf("%d\n",lowcost[0]);free(lowcost);free(visit);}int main(){int T,N;scanf("%d%d",&T,&N);init(T,N);dijkstra(N);return 0;}

2.2 POJ 2253

源点是Freddy's stone，汇点是Fiona's stone。源点到汇点的每一通路均有一条最长边，在这些最长边中找出最小值，最小值即为Frog Distance。

Dijkstra算法求解（源点到图中其他点）所有通路中的最短路径，其松弛条件：

为求解最小最长边，将松弛条件修改为

其中，dis[i]记录源点到点i所有通路的最长边。

源代码：

2253Accepted504K16MSC1673B2013-07-16 09:40:43

#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#define MAX 200#define inf 0xffffdouble edge[MAX][MAX];typedef struct{int x,y;}Tpoint;Tpoint point[MAX];double distance(Tpoint p1,Tpoint p2){return sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y));}void init(int n){int i,j;for(i=0;i<n;i++)scanf("%d%d",&point[i].x,&point[i].y);for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<i;j++)edge[i][j]=edge[j][i]=distance(point[i],point[j]);edge[i][i]=0;          }}double smaller(double be,double af){return be<=af?be:af;}double larger(double be,double af){return be>=af?be:af;}void dijkstra(int n){int i,count=1,min_node;double min_dis;double *dis=(double *) malloc(n*sizeof(double));int *visit=(int *) malloc(n*sizeof(int));    for(i=0;i<n;i++){dis[i]=inf;visit[i]=0;}dis[0]=0;visit[0]=1;min_node=0;while(count<=n){        min_dis=inf; for(i=1;i<n;i++){if(!visit[i])dis[i]=smaller(larger(dis[min_node],edge[min_node][i]),dis[i]);}for(i=1;i<n;i++)if(!visit[i]&&dis[i]<min_dis){min_dis=dis[i];min_node=i;}visit[min_node]=1;     count++;}printf("%.3f\n\n",dis[1]);free(dis);free(visit);}int main(){int n,coun=1;while(scanf("%d",&n)&&n!=0){init(n);printf("Scenario #%d\n",coun);printf("Frog Distance = ");dijkstra(n);coun++;}return 0;}

2.3 POJ 1502

求解最短路径中最长边，输入采用的是Discuss中conan521的小技巧。

源代码：

1502Accepted408K0MSGCC1491B2013-08-08 20:16:00

#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#define MAX 100#define inf 0xffffint edge[MAX][MAX];void init(int N){    int i,j,m;    for(i=1;i<N;i++)    {        for(j=0;j<i;j++)        {            if(scanf("%d",&m)!=0)                edge[i][j]=edge[j][i]=m;            else            {                edge[i][j]=edge[j][i]=inf;                scanf("x");            }        }        edge[i][i]=0;    }}int smaller(int be,int af){    return be<=af?be:af;}void dijkstra(int N){    int i,count=1,min_lowcost,min_node;    int *lowcost=(int *) malloc(N*sizeof(int));    int *visit=(int *) malloc(N*sizeof(int));    for(i=0;i<N;i++)    {        lowcost[i]=inf;        visit[i]=0;    }    lowcost[N-1]=0;    visit[N-1]=1;    min_node=N-1;    while(count<N)    {        min_lowcost=inf;         for(i=0;i<N-1;i++)        {            if(!visit[i]&&edge[min_node][i]!=inf)                lowcost[i]=smaller(lowcost[i],lowcost[min_node]+edge[min_node][i]);        }        for(i=0;i<N-1;i++)            if(!visit[i]&&lowcost[i]<min_lowcost)            {                min_lowcost=lowcost[i];                min_node=i;            }        visit[min_node]=1;        count++;    }    printf("%d\n",min_lowcost);    free(lowcost);    free(visit);}int main(){    int N;    scanf("%d",&N);                    init(N);      dijkstra(N);    return 0;}