矩阵基础知识

Transpose Matrix（转置矩阵）

A =    
111222
333444555666
A' =    
111333555
222444666

一个矩阵A的转置矩阵B是指，B中的所有行是通过A中的列获得的。

Vectors(向量)

a =    
11
1233 a' =    
111233
向量是一种特殊的矩阵，行数或者列数等于1。

Symmetric Matrix（对称矩阵）

A = A' =    
12
23
B = B' =    
567
632721
转置矩阵对于自身。

Diagonal Matrix（对角矩阵）

A =    
10
03
B =    
500
030001
一种特殊的对称矩阵，非对角线上的值为0。对角线为左上至右下。

Scalar Matrix（纯量矩阵）

A =    
30
03
B =    
500
050005

一种特殊的对角矩阵，对角线上的值相等。

Add and Subtract Matrices(矩阵加减法)

A + B =    
1 + 52 + 63 + 7
7 + 38 + 49 + 5
    =    
6810
101214

A - B =    
1 - 52 - 63 - 7
7 - 38 - 49 - 5
    =    
-4-4-4
444

相加减矩阵必须具有同样的行和列数。

Multiply a Matrix by a Number(数字乘矩阵)

xA   =   5A   =    5  
100200
300400    =    
5 * 1005 * 200
5 * 3005 * 400    =    
5001000
15002000    =    B
矩形中每个元素乘以数字。

Multiply a Matrix by a Matrix(矩阵乘以矩阵)

A =    
012
345
B =    
67
891011

2831
100112C_ik = Σ_j A_ijB_jk

矩阵A乘以矩阵B，必须满足A的列数等于B的行数。C中i行k列等于A中i行和B中k列每项相乘之后的和。

C₁₁ = Σ A_1jB_j1 = 0*6 + 1*8 +2*10 = 0 + 8 + 20 = 28

C₁₂ = Σ A_1jB_j2 = 0*7 + 1*9 +2*11 = 0 + 9 + 22 = 31

C₂₁ = Σ A_2jB_j1 = 3*6 + 4*8 +5*10 = = 18 + 32 + 50 = 100

C₂₂ = Σ A_2jB_j2 = 3*7 + 4*9 +5*11 = 21 + 36 +55 = 112

Identity Matrix(单位矩阵)

I₂ =    
10
01I₃ =    
100
010001AI = IA = A

Vector Inner Product(向量内积)

a'b = b'a = s

a =    
1
23
b =    
4
56

a'b = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32

内积又称为dot product(点积)，scalar product(数积)

Vector Outer Product(向量外积)

a =    
1
23
b =    
4
56



a =    
v
w
b =    
x
yz

外积为,

C    =    ab'    =    
v * xv * yv * z
w * xw * yw * z

reference:http://stattrek.com/tutorials/matrix-algebra-tutorial.aspx