Lucas定理and大组合数取余算法总结
来源:互联网 发布:乐清知临学校学费价格 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 20:47
A、B是非负整数,p是质数。AB写成p进制:A=a[n]a[n-1]...a[0],B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0]) modp同余
即:Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)
这个定理的证明不是很简单,我一直想找个很好的张明,但是,没找到,昨天看到了一个解题报告,基本上可以说明白这个Lucas定理是怎么回事了,具体的是说:以求解n! % p为例,把n分段,每p个一段,每一段求的结果是一样的。但是需要单独处理每一段的末尾p, 2p, ...,把p提取出来,会发现剩下的数正好又是(n / p)!,相当于划归成了一个子问题,这样递归求解即可。
这个是单独处理n!的情况,当然C(n,m)就是n!/(m!*(n-m)!),每一个阶乘都用上面的方法处理的话,就是Lucas定理了,注意这儿的p是素数是有必要的。
Lucas最大的数据处理能力是p在10^5左右,不能再大了,hdu 3037就是10^5级别的!
对于大组合数取模,n,m不大于10^5的话,用逆元的方法,可以解决。对于n,m大于10^5的话,那么要求p<10^5,这样就是Lucas定理了,将n,m转化到10^5以内解。
然后再大的数据,我就不会了!
贴一个例题的代码,方便以后看。
hdu 3037
将不大于m颗种子存放在n颗树中,问有多少种存法。
首先是不大于m颗种子,我没可以认为少于m的那些种子存放在了第n+1颗树上,这样的话,问题就转化成了将m颗种子存放在n+1颗树上的方案数。ok这个是组合数学里面的公式,亦即插板法,也就是X1+X2+X3+……+Xn+1 = m;ok,答案是C(n+m,m);
然后就是上面说的Lucas定理解决大组合数问题了
#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;#define N 100010long long mod_pow(int a,int n,int p){ long long ret=1; long long A=a; while(n) { if (n & 1) ret=(ret*A)%p; A=(A*A)%p; n>>=1; } return ret;}long long factorial[N];void init(long long p){ factorial[0] = 1; for(int i = 1;i <= p;i++) factorial[i] = factorial[i-1]*i%p; //for(int i = 0;i < p;i++) //ni[i] = mod_pow(factorial[i],p-2,p);}long long Lucas(long long a,long long k,long long p) //求C(n,m)%p p最大为10^5。a,b可以很大!{ long long re = 1; while(a && k) { long long aa = a%p;long long bb = k%p; if(aa < bb) return 0; //这个是最后的改动! re = re*factorial[aa]*mod_pow(factorial[bb]*factorial[aa-bb]%p,p-2,p)%p;//这儿的求逆不可先处理 a /= p; k /= p; } return re;}int main(){ int t; cin >> t; while(t--) { long long n,m,p; cin >> n >> m >> p; init(p); cout << Lucas(n+m,m,p) << "\n"; } return 0;}
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