母函数

 

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生成函数是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数，看到最多的是这样两句话：

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。”

2.“把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “

 

例子：

有1克、2克、3克、4克砝码各一枚，问能称出哪几种重量？每种重量各有几种方案？

下面是用母函数解决这个问题的思路：

首先，我们用X表示砝码，X的指数表示砝码的重量。那么，如果用函数表示每个砝码可以称的重量，

1个1克的砝码可以用函数X^0 + X^1表示，

1个2克的砝码可以用函数X^0 + X^2表示，

依次类推。

如果我们把上面2个多项式相乘，可以得到X^0 + X^1 + X^2 + X^3。继续把它与X^0 + X^3相乘，得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + X^4 + X^5 + X^6。

接着把它与X^0+X^4相乘，最后得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + 2*X^4 + 2*X^5 + 2*X^6 + 2*X^7 + X^8 + X^9 + X^10。

由于X的指数表示的是重量，所以，在相乘时，根据幂的运算法则（同底幂相乘，指数相加），得到的结果正是所有的方案。而且，每个X前面的系数代表它有几种方案。

需要注意的是，如果有2个1克的砝码，应该用X^0 + X^1 + X^2表示，而不是X^0 + 2*X^1。

 

母函数还可以解决其他问题，比如，整数划分。

整数划分是个很经典的问题，划分规则就不再细述，直接说思路。与上面的问题相比，每种砝码的个数不再是1个，而是无限个。于是，

1克的砝码可以用X^0 + X^1 + X^2 + X^3 ……表示，

2克的砝码可以用X^0 + X^2 + X^4 + X^6……表示，

3克的砝码可以用X^0 + X^3 + X^6 + X^9……表示，

依次类推。

相乘后求出X^n的系数，就是结果。

 

总而言之，解决此类问题，只要模拟好2个多项式相乘就好了。

大概思路是开2个数组，c1[ ]保存当前得到的多项式各项系数，c2[ ]保存每次计算时的临时结果，当每次计算完毕后，把它赋给c1，然后c2清零。

计算的时候，开3层for循环。最外层，记录它正在与第几个多项式相乘。第二层，表示c1中的每一项，第三层表示后面被乘多项式中的每一项。

hdu 1028 整数分解：

 

?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

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13

14

15

16

17

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19

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27

28

29

30

31

32

33

34

#include<iostream>

#include<cstdio>

using namespace std;

const int lmax=40007;

int c1[lmax],c2[lmax];

//G(x)=(1+x+x^2+x^3+...)*(1+x^2+x^4+...)*(1+x^3+x^6+...)+..

int main()

{

    int n;

    while(cin>>n)

    {

        for(int i=0;i<=n;i++)

        {

            c1[i]=1;//用来保存当前得到的多项式的各项系数

            c2[i]=0;//用来保存每次计算时的临时结果

        }

        for(int i=2;i<=n;i++)//记录c1正在与第几个多项式进行运算

        {

            for(int j=0;j<=n;j++)//c1中的每一项前的系数

            {

                for(int k=0;k+j<=n;k+=i)//表示被乘多项式的每一项的系数

                {

                    c2[k+j]+=c1[j];//每计算一次并把它赋给用于临时保存数据的c2

                }

            }

            for(int j=0;j<=n;j++)

            {

                c1[j]=c2[j];//每次计算完毕后，就把它赋给c1

                c2[j]=0;//然后c2清零

            }

        }

        cout<<c1[n]<<endl;

    }

}

以下是不同情况下的变化了：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

直接贴代码了：

 #include <iostream> 2 using namespace std; 3   4 int c1[10000], c2[10000]; 5 int num[4]; 6 int main() 7 { 8     int nNum; 9     while(scanf("%d %d %d", &num[1], &num[2], &num[3]) && (num[1]||num[2]||num[3]))10     {11         int _max = num[1]*1+num[2]*2+num[3]*5;12         // 初始化13         for(int i=0; i<=_max; ++i)14         {15             c1[i] = 0;16             c2[i] = 0;17         }18         for(int i=0; i<=num[1]; ++i)     19             c1[i] = 1;20         for(int i=0; i<=num[1]; ++i)21             for(int j=0; j<=num[2]*2; j+=2) 22                 c2[j+i] += c1[i];23         for(int i=0; i<=num[2]*2+num[1]*1; ++i)   24         {25             c1[i] = c2[i];26             c2[i] = 0;27         }28  29         for(int i=0; i<=num[1]*1+num[2]*2; ++i)30             for(int j=0; j<=num[3]*5; j+=5)31                 c2[j+i] += c1[i];32         for(int i=0; i<=num[2]*2+num[1]*1+num[3]*5; ++i)    //看到变化了吗33         {34             c1[i] = c2[i];35             c2[i] = 0;36         }37         int i;38  39         for(i=0; i<=_max; ++i)40             if(c1[i] == 0)41             {42                 printf("%d\n", i);43                 break;44             }45         if(i == _max+1)46             printf("%d\n", i);47     }48     return 0;49 }

 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2082

找单词：

#include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 using namespace std; 5 int c1[51],c2[51]; 6 int a[27]; 7 int main() 8 { 9     int N;10     cin>>N;11     while(N--)12     {13         int i,j,k;14         for(i=1;i<=26;i++)15         {16             cin>>a[i];17         }18         memset(c1,0,sizeof(c1));19         memset(c2,0,sizeof(c2));20         c1[0]=1;//相当于用x^0去乘后面的多项式21         for(i=1;i<=26;i++)//要乘以26个多项式22         {23             for(j=0;j<=50;j++)//c1的各项指数24             {25                 for(k=0;j+i*k<=50&&k<=a[i];k++)//k*i表示被乘多项式各项的指数（x^(0*i)+x^(1*i)+x^(2*i)+...)26                 {                                                              //指数相加得j+k*i,加多少只取决于c1[j]的系数，因为被乘多项式的各项系数均127                     c2[j+i*k]+=c1[j];28                 }29             }30             for(j=0;j<=50;j++)31             {32                 c1[j]=c2[j];33                 c2[j]=0;34             }35         }36         int sum=0;37         for(i=1;i<=50;i++)sum+=c1[i];38         cout<<sum<<endl;39     }40     return 0;41 }

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

Big Event in HDU：

(完全是按照上面的模板来写的）：

#include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 using namespace std; 5 int value[77],num[77]; 6 int c1[777777],c2[777777]; 7 int main() 8 { 9     int n;10     int i,j,k;11     while(cin>>n&&n>=0)12     {13         int sum=0;14         for( i=1;i<=n;i++)15         {16             cin>>value[i]>>num[i];17             sum+=value[i]*num[i];18         }19         memset(c1,0,sum*(sizeof(c1[1])));20         memset(c2,0,sum*(sizeof(c2[1])));21         c1[0]=1;22         for(i=1;i<=n;i++)23         {24             for(j=0;j<=sum;j++)25             {26                 for(k=0;j+k*value[i]<=sum&&k<=num[i];k++)27                 {28                     c2[j+k*value[i]]+=c1[j];29                 }30             }31             for(j=0;j<=sum;j++)32             {33                 c1[j]=c2[j];34                 c2[j]=0;35             }36         }37         for(i=sum/2;i>=0;i--)38         {39             if(c1[i]!=0)break;40         }41         cout<<sum-i<<' '<<i<<endl;42     }43     return 0;44 }

 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2152

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