1356孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)--即约瑟夫环

题目描述：

每年六一儿童节,JOBDU都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为JOBDU的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为1的小朋友开始报数。每次喊到m的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续1...m报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到JOBDU名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？

输入：

输入有多组数据。

每组数据一行,包含2个整数n(0<=n<=1,000,000),m(1<=m<=1,000,000),n,m分别表示小朋友的人数(编号1....n-1,n)和HF指定的那个数m(如上文所述)。如果n=0,则结束输入。

输出：

对应每组数据,输出最后拿到大奖的小朋友编号。

样例输入：

1 108 56 60

样例输出：

134

      这题就是个约瑟夫环的问题，思路计较简单，建立好一个循环链表，然后按照题目的要求开始删除第m个元素，直到最后只剩下一个元素。本人的代码如下：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef struct node{int data;struct node *next;}node;int main(){int n,m;int i;while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0){scanf("%d",&m);  //构造循环链表 node *head = (node*)malloc(sizeof(node));node *p = head;node *q;if(n==1)       printf("%d\n",1);    else if(n>=2){        head->data = 1;for(i = 2;i <= n;i++){q = (node*)malloc(sizeof(node));q->data = i;p->next = q;p = q; p->next = head; }p = head;    //每次从1开始，删除到第m个元素    //直到只剩下最后一个元素 while(p->next!=p){q = p;if(m>=2){   for(i = 0;i< m-2;i++){      p = p->next;      q = q->next;    }          q = q->next;    //删除结点q      p->next = q->next;   //   printf("删除结点值：%d\n",q->data);      free(q);      //删完p指向下一结点       p = p->next; }//如果每次删的是第一个元素 else if(m==1){p->data = p->next->data;q = p -> next;p ->next =q ->next;free(q); }       }  //留下的最后一个元素     printf("%d\n",p->data);      } }   return 0;}

   测试半天提交，最后系统提示超时，才发现此算法效率颇低，O（nm），当n,m照题意有数百万大小的时候，运行时间很长。因此上网再次搜寻了一下其他算法：

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

 #include <stdio.h>  int main()  {     int n, m, i, s;     while(scanf("%d", &n)!=EOF&&n!=0){      s=0; scanf("%d",&m);      for (i = 2; i <= n; i++)             s = (s + m) % i;         printf ("%d\n", s+1);     }     }
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。