天津网络赛---数论分析题)

 

HDU4279(2012年天津网络赛---数论分析题)

分类： 数论2013-08-03 10:58 170人阅读 评论(0) 收藏 举报

题目：Number

题意： 给出一个f(x),表示不大于x的正整数里，不整除x且跟x有大于1的公约数的数的个数。定义F(x),为不大于x的正整数里，满足f(x)的值为奇数的数的个数。题目就是求这个F(x)。

网上很多方法就是打表找规律，已经谈不上是算法了。

这里我们可以来分析：

不整除x且跟x有大于1的公约数的数的个数 f(x)=x-约数个数-互质数个数+1 。

把x素因子分解，易知x的约数个数为（质数的幂+1）的累乘。所以若要使约数为奇数，充要条件是（质数的幂+1）都为奇

数，即质数的幂都为偶数。所以此时x必然是一个平方数。

综上，x为平方数，其约数个数为奇数；x为非平方数，其约数个数为偶数。

互质数个数，我们有欧拉函数。

这里用到一个结论：欧拉函数在n>2时，值都为偶数。

所以，

当x>2时：

若x为平方数，f(x)=x-奇-偶+1，要使f(x)为奇数，则x必为奇数；

若x为非平方数，f(x)=x-偶-偶+1，要使f(x)为奇数，则x必为偶数。 

当x=1或2时，f(x)=0.

综上，F(x)的值为[3,x]中，奇数平方数+偶数非平方数的个数和，即 偶数个数-偶数^2的个数+奇数^2的个数。

而偶数个数为 x/2-1，-1是为了把2减掉。偶数^2个数为 sqrt(x)/2，奇数^2个数为 ( sqrt(x)-(sqrt(x)/2) )-1，这里-1是为了把1减掉。

所以，化简后，F(x)=x/2-1+(sqrt(x)%2? 0:-1).

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1. #include <iostream>  
2. #include <string.h>  
3. #include <stdio.h>  
4. #include <math.h>  
5.   
6. using namespace std;  
7. typedef long long LL;  
8.   
9. LL Solve(LL n)  
10. {  
11.     LL ans=0;  
12.     if(n<6) return 0;  
13.     ans+=n/2-2;  
14.     if((LL)sqrt(1.0*n)&1) ans++;  
15.     return ans;  
16. }  
17.   
18. int main()  
19. {  
20.     LL a,b,t;  
21.     cin>>t;  
22.     while(t--)  
23.     {  
24.         cin>>a>>b;  
25.         cout<<Solve(b)-Solve(a-1)<<endl;  
26.     }  
27.     return 0;  
28. }