高次同余方程式的解数及解法

高次同余方程式的解数及解法

分类： 数论2013-07-26 18:41 212人阅读 评论(0) 收藏 举报

定理一：

若是k个两两互质的正整数，，则同余式

      

                                    (1)

与同余式组

      

           (i=1,2,3,...,k)          (2)

等价，并且若用表示对模的解数，T表示(1)式对模m的解数，

则：

所以求多项式的解可以用上述方法，先分解分别求出各个解再合并。

定理二：p是素数，r>=2是整数，是整系数多项式，设是同余方程

的一个解，以表示的导数。

(1)若，则存在整数t，使是同于方程的解。

(2)若，并且，则对于t=0,1,2,3,...,p-1，中的

x都是方程的解。

2013年全国邀请赛长沙赛区的E题就是利用上述的定理。

题目：Special equations

题目大意 ：

给定函数 , pri为质数，求一个x使得，, 如果没有，输出No Solution.

首先求得所有的i,使得 

然后分别验证所有的 , 是否满足

由于在第一次枚举的时候保留下来的i不会很多，第二次暴力枚举的时候复杂度不会很大。

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1. #include <iostream>  
2. #include <string.h>  
3. #include <stdio.h>  
4.   
5. using namespace std;  
6. typedef long long LL;  
7.   
8. const int N=105;  
9.   
10. LL a[N];  
11. LL temp[N];  
12.   
13. LL Equ(LL n,LL x)  
14. {  
15.     if(n==1)      return a[1]*x+a[0];  
16.     else if(n==2) return a[2]*x*x+a[1]*x+a[0];  
17.     else if(n==3) return a[3]*x*x*x+a[2]*x*x+a[1]*x+a[0];  
18.     else if(n==4) return a[4]*x*x*x*x+a[3]*x*x*x+a[2]*x*x+a[1]*x+a[0];  
19. }  
20.   
21. int main()  
22. {  
23.     LL T,n,i,j,p,k,tt=1;  
24.     cin>>T;  
25.     while(T--)  
26.     {  
27.         cin>>n;  
28.         for(i=n;i>=0;i--)  
29.            cin>>a[i];  
30.         cin>>p;  
31.         k=0;  
32.         for(i=0;i<p;i++)  
33.         {  
34.             if(Equ(n,i)%p==0)   
35.             {  
36.                 temp[k++]=i;  
37.             }  
38.         }  
39.         if(k==0)  
40.         {  
41.             printf("Case #%I64d: No solution!\n",tt++);  
42.             continue;  
43.         }  
44.         LL ret=-1;  
45.         for(i=0;i<k;i++)  
46.         {  
47.             bool flag=0;  
48.             for(j=0;j<p;j++)  
49.             {  
50.                 LL x=(temp[i]+j*p);  
51.                 if(Equ(n,x)%(p*p)==0)  
52.                 {  
53.                     ret=x;  
54.                     flag=1;  
55.                     break;  
56.                 }  
57.             }  
58.             if(flag) break;  
59.         }  
60.         if(ret==-1)  
61.         {  
62.             printf("Case #%I64d: No solution!\n",tt++);  
63.             continue;  
64.         }  
65.         printf("Case #%I64d: %I64d\n",tt++,ret);  
66.     }  
67.     return 0;  
68. }