poj 2125 最小割解决 "最小点权覆盖问题" +输出解(割边集)

题意：给你一幅有向图， 对于点i删除所有进入该点的边就要支付费用W[i]+(情况1)， 删除所有从该点出发的边就要支付费用W[i]-，问删除图中的所有边至少需要多少费用(情况2)。

分析：首先我们根据题意，选点就能删除一些边， 那么这可以看成是“用点去覆盖边”， 这里无非是把边分成了2类，

我们可以把原来的点进行拆点，那么就完完全全等价于“用点去覆盖边"，如果支付费用都为1，那么这就是”最小点覆盖集“问题，但这题费用不确定，那么这就是“最小点权覆盖集”问题， 借助二分匹配的思想，我们可以引入“最小割”来解决“最小点权覆盖”问题。

建图：拆点，左点阵为情况2的点， 右点阵为情况1的点，右点阵跟汇点T连流量为W+，左点阵跟源点S连费用为W-，

对于输入的边<u, v> 连边 (u, v+n)费用为无穷大inf。跑一边最大流，求出最小费用。

输出解：最要我们找到一个满足条件的割边集(注意不是所有割边， 因为有一条流已经经过了一条割边，那么下面一条割边就不用选了，这样费用才是最小的)，那么就能输出解了。怎么找出割边呢?我们可以在残余网络里走流，如果有一条边是割边，那么之后就流不过去了，不是割边还能继续流，具体实现我们可以从源点S用dfs搜出能走到的点标记vis[] =1，

那么对于边<u,v> 只要 vis[u] = 1 && vis[v] = 0 那就是割边了。

总结：二分匹配的题都可以用最大流来解，在二分图中 有 “最小点覆盖集”和“最打独立集”，如果有了点权，那么就要用最大流(最小割)来解决 “最小点权覆盖集”(最小割)和“最大点权独立集”(最大流)问题。

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 206;const int maxm = 10404;const int inf = 1e9;int n, m, N, S, T;struct Edge {int v, c, next;Edge(int v, int c, int next) :v(v), c(c), next(next) {}Edge() {}} edge[maxm];int head[maxn], E;void add(int s, int t, int c) {edge[E] = Edge(t, c, head[s]);head[s] = E++;edge[E] = Edge(s, 0, head[t]);head[t] = E++;}void init() {memset(head, -1, sizeof(head));E = 0;}int gap[maxn], dis[maxn], pre[maxn], cur[maxn];int sap(int s, int t, int n) // s 源点，t汇点，n顶点总数        {    int i;    for(i = 0; i <= n; i++) {        dis[i] = gap[i] = 0;        cur[i] = head[i];    }    gap[0] = n;    int u = pre[s] = s, maxf = 0, aug = inf, v;    while(dis[s] < n) {        loop: for(i = cur[u]; ~i; i = edge[i].next) {            v = edge[i].v;            if(edge[i].c  && dis[u] == dis[v] + 1) {                aug = min(aug, edge[i].c);                pre[v] = u;                cur[u] = i;                u = v;                if(u == t) {                    while(u != s) {                        u = pre[u];                        edge[cur[u]].c -= aug;                        edge[cur[u] ^ 1].c += aug;                    }                    maxf += aug;                    aug = inf;                }                goto loop;            }        }        int d = n;        for(i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {            v = edge[i].v;            if(edge[i].c && dis[v] < d) {                d = dis[v];                cur[u] = i;            }        }        if(!(--gap[dis[u]]))            break;        ++gap[dis[u] = d + 1];        u = pre[u];    }    return maxf;}bool vis[maxn];void dfs(int u) {vis[u] = 1;for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {int v = edge[i].v;if(!vis[v] && edge[i].c)dfs(v);}}int cnt, res[maxn];void debug() {    int i;    for(i = head[7];  ~i; i = edge[i].next)        printf("v = %d\n", edge[i].v);}int main() {int i;while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {N = n << 1;init();S = 0;T = N+1;int x, y;for(i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &x);add(i+n, T, x);}for(i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &x);add(S, i, x);}while(m--) {scanf("%d%d", &x, &y);add(x, y + n, inf);}printf("%d\n", sap(S, T, T+1));//dfsmemset(vis, 0, sizeof(vis));dfs(S);//枚举所有可能是割边的边  (与S或与T连的边)cnt = 0;for(i = head[S]; ~i; i = edge[i].next) {int v = edge[i].v;if(vis[S] && !vis[v]) res[cnt++] = v;}for(i = head[T]; ~i; i = edge[i].next) {int v = edge[i].v;if(vis[v] && !vis[T]) res[cnt++] = v;}printf("%d\n", cnt);for(i = 0; i < cnt; i++)if(res[i] <= n) printf("%d -\n", res[i]);else printf("%d +\n", res[i]-n);}return 0;}