18. 约瑟夫环

题目：n 个数字（0,1,…,n-1）形成一个圆圈，从数字0 开始，
每次从这个圆圈中删除第m 个数字（第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数
字）。
当一个数字删除后，从被删除数字的下一个继续删除第m 个数字。

求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

HANDWRITING:

int joseph (int n, int m) {if (n == 0) return 0;return (joseph(n - 1) + m) % n;}

1、想想还是用循环好

约瑟夫环：来自百度百科

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到m-1的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1）%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-3 --> n-3

k-2 --> n-2

序列1：0,1,2,3 … n-2,n-1

序列2：0,1,2,3 … k-2,k，…，n-2,n-1

序列3：k,k+1,k+2,k+3，…，n-2,n-1,0，1,2,3，…，k-2,

序列4：0,1,2,3 …，5,6,7,8，…，n-3,n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

∵ k=m%n;

∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

得到 x‘=(x+m)%n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

递推公式：

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1）

ANSWER FROM:http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6870251

int joseph(int n, int m) {  int fn=0;  for (int i=2; i<=n; i++) {    fn = (fn+m)%i;  }  return fn;}