选球博奕与动态规划（四）

        这里不严格展开，只简单分析一下算法SOLVE的时间复杂度。由于此算法是基于递归公式A的，假设对任一局面N有Cond(N) = Vol(N)-1 则可将公式展开为：

        

        

        

        

        ......

       

        因此， ，这一效率不理想。

       实际上，从题目的要求可知，假设球的总数为M，那么首轮决策取球数不应该超过low(M/2)，low()为向下取整函数；如果M为偶数的话首轮取球数最多为：M/2-1。否则的话，按游戏规则，最后一个球一定会被对方取走。因此判断一个局面N是否有解，只要考虑子局面Ci(N)解的情况，其中1≤ i ≤low(Vol(N)/2)，或考虑局面所有球是否可以被当前决策方全取走，即可。为此得到以下新算法：

SOLVE_OPT(m, cnd)  if m%2 == 1    then return 1  if aySitu[m].vol == cnd    then return 1  half = low(m/2)  if aySitu[m] initiated     then  if cnd <= half            then  return (int)anySitu[m].pSCond[cnd].v            else  return 0      aySitu[m].vol = m  for c <- 1 to half     //condition    do h <- 0         rear(aySitu[m].pSCond) <- create SCond             for d <- 1 to c         do h <- h + SOLVE(m-d,d)       if h==c         then  aySitu[m].pSCond[c].v = flase          else  aySitu[m].pSCond[c].v = true;       aySitu[m].pSCond[c].cond = c                 return (int)aySitu[m].pSCond[m].v

        算法SOLVE_OPT在原算法SOLVE的基础上作了以下改进：将SOVLE的中的m除2并向下取整，所得值赋给变量half；原第5行的控制逻辑，被改写，当传入的条件值cnd小于等于half时，仍由原来逻辑控制，当cnd大于half时，意味着取球数将会超过当前局面球数的一半，故必无解；原第11行中的m-1用half变量取代，从而使得每个局面的PScond链表的结点数也大大减少；SOLVE_OP新增的第1、2行主要是针对局面值是奇数的情况，在此情况下，当前选择方取球数只要小于局面值的1/2，就保证能取到最后一个球，故必有解。

        假设不考虑局面条件的限制，SOLVE_OPT按递归公式A可以展开为：

        

        

        

        
        

        ......

        

       假设，则有。

       那么 

                                                             

                                                            

     也就是说当  时，成立。

     算法SOLVE_OPT，可以接受。