最长子序列 （经典动态规划题）

 

 

原文地址：http://blog.163.com/kevinlee_2010/blog/static/169820820201092091343405/

 

例如：有一个序列，例如 9 8 2 1 7 5 3 4 3 2 1.
求出最长的递减子序列。如本例的结果就是：9 8 7 5 4 3 2 1。

 

算法：

此题为动态规划经典题目，时间复杂度O（n^2)。
解法如下：
设原数组为a[1....n]。设一数组d[1....n],其中d[i]表示从第i个元素开始（一定
包含第i个元素），到整个数组末尾的子序列 a[i...n]中的最长递减子序列的长度。
则本问题就是要在求出d[1]的同时，恢复出最优解。

下面给出递推式：

d[i]的值分两种情况：
1、当i=n时，d[i]=1。即最后一个元素的序列的最大递减子序列中只有它自己。
2、当i<n时，d[i]=max{d[k]| i<k<=n 且a[i]>a[k]} +1。解释意思为，包含第i个
元素的序列a[i...n]的最大子序列依赖于i后面所有的序列中比a[i]小（满足递减
特性），且最大的d[k]（满足最 优特性）值再加1（加上a[i]元素）。在给d[i]赋
值的时候只需记录p[i]=k,既可以作为parent属性恢复出解。

具体实现的话，开两个数组d[n],p[n]，外层循环从后往前选取i，内层循环从i往
后寻找最优的k,双循环遍历即可求出所有的d[i]。然后 再进行一次O（n)操作，找
出最大的d[max]。恢复解的话，可以从p[max]开始，依次恢复出各个解。

 

C++代码：

//求一个数组的最长递减子序列

void longest_decrease_sub(int *a, int size){

int *d=new int[size]();

int *p=new int[size]();

d[size-1]=1;

for(int i=size-1;i>=0;i--){

int max=0;

int index=0;

for(int j=i;j<size;j++){

if(a[i]>a[j] && max <d[j]){

max=d[j];

index=j;

}

}

if(max==0){

d[i]=1;

p[i]=-1;

}else{

d[i]=max+1;

p[i]=index;

}

}

//寻找最大子序列的起始下标

int max=0;

int max_index=0;

for(int i=0;i<size;i++){

if(d[i]>max){

max=d[i];

max_index=i;

}

}

//从最大子序列的下标开始 输出子序列

cout<<"\n最长递减子序列的长度为："<<d[max_index]<<",最长子序列为："<<ends;

for(int i=max_index;i!=-1;i=p[i]){

cout<<a[i]<<" "<<ends;

}

delete [] d;

delete [] p;

}

 

欢迎大家测试～