动态规划之最长非降子序列

输入数据

输入的第一行是序列的长度N(1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N 个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出要求

最长上升子序列的长度。

输入样例

7

17 3 5 9 4 8

输出样例

4

n如何把这个问题分解成子问题呢？经过分析，发现“求以ak（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”是个好的子问题――这里把一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

n由上所述的子问题只和一个变量相关，就是数字的位置。因此序列中数的位置k就是“状态”，而状态 k对应的“值”，就是以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度。这个问题的状态一共有N个。状态定义出来后，转移方程就不难想了。 

n假定MaxLen(k)表示以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度，那么：

nMaxLen(1) = 1

nMaxLen(k) = Max {MaxLen (i)：1<i< k 且ai <ak且k≠1} + 1

n这个状态转移方程的意思就是，MaxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。

n实际实现的时候，可以不必编写递归函数，因为从MaxLen(1)就能推算出MaxLen(2)，有了MaxLen(1)和MaxLen(2)就能推算出MaxLen(3)……

import java.util.Scanner;public class Main {    static Scanner scin = new Scanner(System.in);    public static void main(String[] args) {        int size = scin.nextInt();        int[] all = new int[size];        int[] max = new int[size];// 记录每个点作为end节点的最长非降序列的长度        int[] route = new int[size];// 记录线路，int[size]记录size点线路的上一个节点        max[0] = 1;        int i = 0, j = 0, t = 0, pre = 0;        for (; i < size; i++)            all[i] = scin.nextInt();        System.out.println("max[" + 0 + "]=" + 1);        for (i = 1; i < size; i++) {            t = 0;            pre = 0;            for (j = 0; j < i; j++) {                if (all[j] < all[i] && t < max[j]) {                    t = max[j];                    pre = j;                }            }            route[i] = pre;            max[i] = t + 1;            System.out.println("max[" + i + "]=" + max[i]);        }        j = 0;        t = 0;        for (i = 1; i < size; i++) {            if (j < max[i]) {                j = max[i];                t = i;            }        }        System.out.println("length:" + j);        System.out.println("line is blow:");        System.out.println(t);        while (t > 0) {            System.out.println(route[t]);            t = route[t];        }    }}