动态规划 最长非降子序列
来源:互联网 发布:淘宝注册手机验证码 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 11:41
问题:
LIS:longest increasing subsequence
一个序列有N个数:A[1],A[2],…,A[N],求出最长非降子序列的长度。
分析:
首先要定义一个“状态”来代表它的子问题,并且找到它的解。注意,大部分情况下,某个状态只与它前面出现的状态有关,而独立于后面的状态。
假如考虑求A[1],A[2],…,A[i]的最长非降子序列的长度,其中i < N,那么上面的问题变成了原问题的一个子问题(问题规模变小了,你可以让i=1,2,3等来分析)。然后我们定义d(i),表示前i个数中以A[i]结尾的最长非降子序列的长度。如果把d(1)到d(N)都计算出来,那么最终要找的答案就是这里面最大的那个。状态找到了,下一步找出状态转移方程。
为了方便理解我们是如何找到状态转移方程的,我先把下面的例子提到前面来讲。如果我们要求的这N个数的序列是:
5,3,4,8,6,7
根据上面找到的状态,可以得到:(下文的最长非降子序列都用LIS表示)
· 前1个数的LIS长度d(1)=1 (序列:5)
· 前2个数的LIS长度d(2)=1 (序列:3;3前面没有比3小的)
· 前3个数的LIS长度d(3)=2 (序列:3,4;4前面有个比它小的3,所以d(3)=d(2)+1)
· 前4个数的LIS长度d(4)=3 (序列:3,4,8;8前面比它小的有3个数,所以d(4)=max{d(1), d(2), d(3)}+1=3)
分析到这,状态转移方程已经很明显了,如果已经求出了d(1)到d(i-1),那么d(i)可以用下面的状态转移方程得到:
d(i) = max{1, d(j)+1},其中j < i,A[j] <= A[i]
所以想要求d(i),就把i前面的各个子序列中,最后一个数不大于A[i]的序列长度加1,然后取出最大的长度即为d(i)。当然了,有可能i前面的各个子序列中最后一个数都大于A[i],那么d(i)=1,即它自身成为一个长度为1的子序列。
求解
#include <iostream> #include <algorithm> usingnamespace std; int main() { int dp[2000],a[2000],n; while(cin>>n) { memset(dp,0,sizeof(dp)); int res = 0; for(int i = 0; i < n; i++) cin>>a[i]; for(int i = 0; i < n; i++) { dp[i] = 1; for(int j = 0; j < i; j++) { if(a[j] < a[i]) dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1); } res = max(res,dp[i]); } cout<<res<<endl; } return 0; }
转自:http://blog.csdn.net/u013445530/article/details/45645307
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