线性代数导论18——行列式及其性质

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  

第十八课时：行列式及其性质 determinants

关于方阵的行列式，需要行列式的重要原因是求特征值。每个方阵都有与其相关的行列式值detA，或者|A|，一个行列式的值把尽可能的信息包含在里头。行列式非零等价于矩阵可逆，行列式为零等价于矩阵是奇异矩阵。行列式可以检验矩阵的可逆性。

在2×2的条件下，行列式：

行列式的三个基本性质

性质1：单位矩阵的行列式为1，即det I =1；

性质2：交换矩阵的行，行列式的值的符号会相反；（由性质1和2就可知置换矩阵P的行列式等于1（交换偶数次）或-1（交换奇数次），正负看交换次数是奇还是偶。）

有一个事实：任何一种置换都可区分奇偶，通过7次换行得到一种置换，同样可通过21或23次（奇数次）换行得到，相应也存在偶数次的置换。因此，如果通过奇数次换行得到的矩阵不可能由偶数次换行得到。

性质3：1）如果第i的每个元素都是t的倍数，那么行列式可将倍数t提取出来

            2）如果某一行i由两个数字相加，那么行列式可以分解成那两个行列式的值相加

行列式是一个线性函数，每一行表现为线性函数，如果其余行都保持不变。（每行独立成立的线性性质）

其他行列式性质

性质4：如果两行相等，那么行列式为0。

（由性质2，交换那个相等的两行，那么行列式符号相反，但本身这两行相同，所以交换后的矩阵一模一样，行列式不变，只有detA=0才满足。这也与：有两个相等的行的矩阵是不可逆的奇异矩阵detA=0的事实相符）

性质5：消元步骤中：从行k减去行i的l倍，行列式并不因此改变。A的行列式等于消元后的上三角矩阵的行列式。证明如下：

性质6：若有一行是0那么A的行列式就是0。

（性质3中，令t=0即可证明）

性质7：矩阵A通过消元法得到上三角阵U的主对角线上的元素为d1,d2,di,..dn，那么这个矩阵的行列式为detU=d1*d2...*dn。计算软件比如matlab都是用这种方法求行列式的。detA的值要看消元时换行次数。

（将U消元成只有主对角线上的元素非0，其余均为0（对角阵），通过性质3将每行看着是di倍提取出来，得到d1*d2*..*dn*detI，又detI=1，由此证明）

性质8：当且仅当A是奇异矩阵，detA=0。当且仅当A是可逆的（非奇异），detA不等于0。

求行列式

通过消元法，把A化简为U。求行列式的方法：

1）如果矩阵A是奇异的，那么通过消元法将得到全零行，行列式为0；

2）如果矩阵A是可逆的（非奇异），那么A通过消元将得到U上三角矩阵，进一步消元将得到对角矩阵D，行列式为d1*d2*...*dn。

性质9：方阵乘积的行列式 detAB=(detA)*(detB)  （注意A+B的行列式不等于他们各自行列式之和）

利用性质9如何求矩阵A的逆的行列式：detA^-1=1/detA。（当矩阵是可逆的时候，detA不为0，分母才有意义）

如果A,B都是对角阵（两个矩阵通过消元得到A,B），那么性质9显然成立，如何证明未消元前的矩阵也成立会比较繁琐。

A是n×n的方阵：

detA²=(detA)²

det2A=2ⁿdetA   （行列式A可以将每行的公因子2提取出来，就像三维立方体的体积，边都变为2边，体积变为8倍）

性质10：A转置的行列式等于A的行列式，detA^T=det A

证明：A=LU，L是下三角矩阵，对角线上都是1，|A|=1，（对任何三角矩阵求行列式的时候非主对角线上元素都可忽略，看成对角阵即可），同理|L^T|=1，同样U上三角矩阵也同理。

由性质10可知，不光当矩阵的行全0时行列式为0，当矩阵的某列全0时行列式也为0，并且，所有行的性质对于列同样成立，交换两列会改变行列式的符号。