Linear Algebra - Lesson 18. 行列式及其性质

Schedule

• Determinants detA ∥A∥
• Properties 1,2,3,4-10

Determinants and Eigen values - 行列式和特征值

行列式为0的矩阵不可逆;
行列式仅对方阵有意义.

性质一: 单位矩阵的行列式为1

detI=1

性质二: 交换行,行列式的值的符号会相反

Row exchange reverse sign of det.

一般二维矩阵的行列式∥∥∥acbd∥∥∥=ad−bc

性质三: 行列式的数乘和加法

3a) 用一个数乘以行列式,可以将这个数提取出行列式外.

∥∥∥tactbd∥∥∥=t∥∥∥acbd∥∥∥

3b) 行列式的加法

∥∥∥a+a′cb+b′d∥∥∥=∥∥∥acbd∥∥∥+∥∥∥a′cb′d∥∥∥

det(A+B)≠detA+detB

性质四: 如果两行相等,则行列式为0.

如果两行相等,则行列式为0.

2 equal rows \right det = 0

可以从性质二中得到,行变换变换符号,但行列式 相等,则两者都为0.

性质五: 从行k中减去行n的i倍,并不改变行列式.

∥∥∥ac−labd−lb∥∥∥=∥∥∥acbd∥∥∥+∥∥∥a−lab−lb∥∥∥=∥∥∥acbd∥∥∥

性质六: 有全零行则行列式为0.

Row of zeros → detA=0

性质七: 矩阵的行列式等于其消元简化后U的对角线元素乘积.

detU=∥∥∥∥∥∥∥d10⋮0∗d2⋮0⋯⋯⋱⋯∗∗∗dn∥∥∥∥∥∥∥=(d1)(d2)(d3)⋯(dn)

MATLAB中计算方阵的行列式就是根据消元后计算其独角元素的乘积得出方阵的行列式.

性质八: detA=0 当且仅当A为奇异矩阵.

性质七中利用主元去进行消元,如果存在零主元,则矩阵为奇异矩阵.
假设原矩阵为∥∥∥acbd∥∥∥→∥∥∥a0bd−cab∥∥∥→detA=a(d−cab)=ad−bc

性质九: 行列式乘法

detAB=(detA)(detB)→detA−1=1detA
det(A+B)≠(detA)+(detB)
detA2=(detA)2
det2A=2ndetA 这是因为可以对每行均提取公因子2,共有n行,所以结果是2^n倍.

性质十: 矩阵转置不改变行列式的值

∥∥AT∥∥=∥A∥→detAT=detA→∥∥UTLT∥∥=∥LU∥→∥∥UT∥∥∥∥LT∥∥=∥L∥∥U∥