(2)斐波那契数列及其应用跳台阶问题

斐波那契公式：

递归实现：

输入参数n类型：unsigned int

函数体：

if : n  == 0 -->返回 0

if : n  == 1 -->返回1

if : n >= 2 --> 返回function(n - 1) + function(n - 2)

分析：随着n 的增大，重复计算同一个数的次数明显增多，例如求f(9)会用到f(6);求f(8) 和f(7) 同样会用到f(6);

           故随着n的增大 ，递归所用资源急剧上升；

           时间复杂度随着n 的增大呈现指数级增长；

循环实现：

当 (n >= 2)时，Fibonacci(2) = Fibonacci(0) + Fibonacci(1);

                         Fibonacci(3) = Fibonacci(1) + Fibonacci(2);

                         .....................................................................

                         Fibonacci(n) = Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);

故求f(n)时，只需要知道f(n-1),f(n-2)即可；

时间复杂度O(n);

代码实现：

#include<iostream>using namespace std;//----------------------------------------递归实现----------------------------------------------long long   Fibonacci1(unsigned int n){if(n < 2)return n;elsereturn  Fibonacci1(n - 1) + Fibonacci1(n - 2);}//--------------------------------------循环实现---------------------------------------------------long long  Fibonacci2(unsigned int n){if(n < 2) return n;long long  FeiOne = 0;long long  FeiTwo = 1;long long  FeiN = 0;for(unsigned  i = 2; i <= n; ++i){FeiN = FeiOne + FeiTwo;FeiOne = FeiTwo;FeiTwo = FeiN;}return FeiN;}

int main(){unsigned int n;cout<<"请输入一个正整数:";cin>>n;cout<<n<<'\n';cout<<"斐波那契数列Fei1()为："<<Fibonacci1(n)<<'\n';cout<<"斐波那契数列Fei2()为："<<Fibonacci2(n)<<endl;return 0;}

跳台阶问题：

问题描述：一只青蛙一次可以跳上一级台阶，也可以跳上2级台阶；求该青蛙跳上一个n阶的台阶，总共有多少跳法？

分析：n =1-->直接跳上，跳法为1；

           n = 2-->先跳台阶1，再跳台阶2；或者直接跳上台阶2；跳法总共有2种；

           n > 2时；(1)若青蛙从台阶n-1，直接跳到台阶n；则跳法总数F(n) = F(n - 1)

                             (2)若青蛙从台阶n-2，直接跳到台阶n；则跳法总数F(n) = F(n - 2)

                             故：F(n) = F(n - 1) + F( n - 2);

发现其实是斐波那契数列的应用；