佩尔方程

来源：互联网发布：ktv 公主知乎编辑：程序博客网时间：2024/04/28 18:54

佩尔方程

若一个丢番图方程具有以下的形式：

$x^2 - ny^2= 1$

且 $n$ 为正整数，则称此二元二次不定方程为佩尔方程(英文：Pell's equation 德文：Pellsche Gleichung)

若 $n$ 是完全平方数，则这个方程式只有解 $(\pm 1, 0)$ （实际上对任意的 $n$ ， $(\pm 1, 0)$ 都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有解。而这些解可由 $\sqrt{n}$ 的连分数求出。

佩尔方程的解

设 $\tfrac{p_i}{q_i}$ 是 $\sqrt{n}$ 的连分数表示: $[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ]$ 的渐近分数列，由连分数理论知存在 $i$ 使得(p_i,q_i) 为佩尔方程的解。取其中最小的 $i$ ，将对应的 (p_i,q_i) 称为佩尔方程的基本解，或最小解，记作(x₁,y₁) ，则所有的解(x_i,y_i) 可表示成如下形式：

$x_i + y_i\sqrt n = (x_1 + y_1\sqrt n)^i.$

或者由以下递推公式得到：

$\displaystyle x_{i+1} = x_1 x_i + n y_1 y_i,$

$\displaystyle y_{i+1} = x_1 y_i + y_1 x_i.$