佩尔方程

来源：互联网发布：把高中老师给睡了知乎编辑：程序博客网时间：2024/04/28 12:00

佩尔方程
佩尔方程：
形如x2-D*y2=1(D是一个固定的正整数且D不是完全平方数)的方程称为佩尔方程
佩尔方程定理：
佩尔方程总有正整数解，若(x1,y1)是使x1最小的解，则每个解(xk,yk)都可以通过取幂得到：
xk + yk * sqrt(D) = (x1 + y1 *sqrt(D))k
xn+1 = x0xn +Dy0yn , yn+1 = y0xn+ x0yn
xn+2 = 2x0xn+1-xn   yn+2 = 2x0yn+1-yn

代码：

扩展
1.  x2 - D * y2 =-1(D不是完全平方数)
这个方程并不一定有解，但若有解，则有无数解(这里的解说的都是正整数解)
且有：xn+1 = (x0² + Dy0²)xn+ 2Dx0y0yn,   yn+1 = 2x0y0xn+ (x0² + Dy0²)yn((x0,y0)是基解)
这种情况下，依旧使用上面的算法，如果最后求出的p和q满足p2 – D * q2 = -1则必然有解，否则无解
其中，若D是素数且D = 4* k + 1，则必有解
2.  x² - Dy² = K(D不是完全平方数 && |K| != 1)
这个方程并不一定有解，但若有解，则有无数解,待续

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