算法----五大算法之分治法

分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

1. 基本概念

字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如快速排序，归并排序等。

2. 适用范围

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

    1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

    2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

    3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

    4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

3. 分治法的步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

    step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

    step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题

    step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：

 Divide-and-Conquer(P)

 if |P|≤n0    then return(ADHOC(P))    将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk    for i←1 to k    do yi ←Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi     T ←MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题    return(T)

 其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。

4. 复杂度分析

参见http://blog.sina.com.cn/s/blog_48258fbe0100gcy8.html

5. 典型问题

（1）二分搜索

（2）大整数乘法

 （3）Strassen矩阵乘法

（4）棋盘覆盖

（5）合并排序

（6）快速排序

（7）线性时间选择

（8）最接近点对问题

（9）循环赛日程表

（10）HANOI塔

参考：http://c.chinaitlab.com/special/algorithm/Index.html