五大算法之（1）分治算法

一、基本思想

       当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。这就是分治策略的基本思想。

二、二分法

       利用分治策略求解时，所需时间取决于分解后子问题的个数、子问题的规模大小等因素，而二分法，由于其划分的简单和均匀的特点，是经常采用的一种有效的方法，例如二分法检索。

三、解题步骤

分治法解题的一般步骤：
（1）分解，将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题；
（2）求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决；
（3）合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。

四、应用场景

运用分治策略解决的问题一般来说具有以下特点：
1、原问题可以分解为多个子问题
这些子问题与原问题相比，只是问题的规模有所降低，其结构和求解方法与原问题相同或相似。
2、原问题在分解过程中，递归地求解子问题
由于递归都必须有一个终止条件，因此，当分解后的子问题规模足够小时，应能够直接求解。
3、在求解并得到各个子问题的解后
应能够采用某种方式、方法合并或构造出原问题的解。
不难发现，在分治策略中，由于子问题与原问题在结构和解法上的相似性，用分治方法解决的问题，大都采用了递归的形式。在各种排序方法中，如归并排序、堆排序、快速排序等，都存在有分治的思想。

五、示例

1）二分搜索

二分搜索的前提是“数据必须有序”，也就是先要排序好。

（1）binarySearch.cpp

#include <stdio.h>/// <summary>/// 分治算法之二分法查找/// </summary>/// <param name="array">数组指针</param>/// <param name="len">数组长度</param>/// <param name="value">查询的值</param>/// <returns>查询到的下标</returns>int binarySearch(int *array, int len, int value){int low = 0;int high = len-1;//index : 将返回的下标int index = -1;while(low <= high){//二分，得到中间位置int mid = (high + low)/2;//找到该数if (value == array[mid]){index = mid;break;}else if (array[mid] < value){//值位于右边low = mid + 1;}else{//值位于左边high = mid - 1;}}return index;}/// <summary>///  主函数/// </summary>/// <returns></returns>int main(void){int array[] = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};//len : 数组长度int len = sizeof(array)/sizeof(array[0]);int value = array[5];//index 查找位置int index = binarySearch(array, len,value);//index = -1 :未找到该值if (-1 != index){printf("the value is %d\n",array[index]);}return 0;}

（2）binarySearchDemo.java

package algorithm.qdj.div;/** * @author qingdujun * */public class binarySearchDemo {public static void main(String[] args) {int[] array= new int[]{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};int value = array[5];int index = binarySearch(array, value);if (index != -1) {System.out.println("this value is "+array[index]);}}/** * 分治算法之二分法查找 * @param array 数组引用 * @param value 查找值 * @return 查找到的位置 */private static int binarySearch(final int[] array,final int value){int low = 0;int high = array.length-1;//index : 将返回的下标int index = -1;while(low <= high){//二分，得到中间位置int mid = (high + low)/2;//找到该数if (value == array[mid]){index = mid;break;}else if (array[mid] < value){//值位于右边low = mid + 1;}else{//值位于左边high = mid - 1;}}return index;}}

2）大数乘法

大数乘法，实现原理就是用计算机模拟人工手动计算，比如：123 x 45，只要会123x5那么，123x4就是一样的计算原理。

BigDiv.cpp

//大数乘法  By:Ypramk //2015年1月26日13:49:27#include <iostream>#include <string>using namespace std;/// <summary>/// 大数乘法/// </summary>/// <param name="num1">被乘数</param>/// <param name="num2">乘数</param>string BigDiv(string num1, string num2){//len1获得被乘数的长度，用于动态开辟缓存空间int len1 = num1.size();//len2乘数的长度int len2 = num2.size();//需要开辟缓存空间大小int len = len1+len2;//buf缓存计算数据int *buf = new int[len];//将buf数组内容全部初始化为0，你也可以用for循环memset(buf,0,sizeof(int)*(len) );//---------模拟乘法--------//--i比i--效率更高,t用于配合乘数偏移for (int it = 0,i = len2-1; i >= 0; --i,++it){//i 循环为乘数,初始位置为最末尾for (int jt = 0,j = len1-1; j >= 0; --j,++jt){//j 循环为被乘数，初始位置为最末尾//注意存储位置,buf数组，从后往前存放内容buf[len-1-it-jt] += ( (num1[j]-'0')*(num2[i]-'0') );}}//----------模拟进位--------for (int k = len-1; k > 0; --k){if (buf[k] > 9){//进位buf[k-1] += (buf[k] / 10); buf[k] = (buf[k] % 10);}}//----过滤buf[]前面无用的0-----//index标识第一个不为0的位置int index = 0;while ( 0 == buf[index] ){++index;}//-----将数字转化为string，返回给main()----string result;for (int x = index; x < len; ++x){//string重载了+=，其效果就是直接追加在尾部result += (buf[x]+'0');}return result;}/// <summary>/// 交换两数，使num1>num2/// </summary>/// <param name="num1"></param>/// <param name="num2"></param>void swap(string &num1, string &num2){string buf;if ( ( num1.size() <= num2.size() ) && (num1 < num2)){buf = num1;num1 = num2;num2 = buf;}}int main(void){string num1,num2;//输入两个大数，这里用C++string可以支持动态输入cin>>num1>>num2;swap(num1,num2);cout<<BigDiv(num1,num2)<<endl;return 0;}

3）快速排序

快速排序，就三步：

1）选择一个基准Select

2）将该Select摆放在合适的位置

3）重复1、2步骤

注意：选择的基准（Select），这个是自己随便选择的。所谓合适的位置，就是要使该位置前面的数字全部小于（大于）Select，后面的数字全部大于（小于）Select，同时一旦确定了Select的摆放位置，以后永远不再挪动Select。比如：下图中选择第一个数字9为基准，那么就要把9摆放在合适的位置（使9前面的数字全部小于9，后面的数字全部大于9，但不一定要有序）。下图为一趟对9的快速排序，直接找到了9应该摆放的位置。

//快速排序 By Ypramk//2015年1月26日14:10:47#include <stdio.h>void Qsort(int a[], int low, int high){int Select = a[low];          int i = low, j = high;    //确保low,high值不变if (i >= j)return;else{while (i < j)          //i < j 确保两个寻找下标不冲突{while (a[j] > Select && i < j)  //从右往左找比Select小的值--j;a[i] = a[j];                    //将该值放在上一步空出的位置while (a[i] <= Select && i < j) //从左往右找比Select大的值++i;a[j] = a[i];                    //将该值放在上一步空出的位置}}a[i] = Select;   //或者a[j] = Select; 此时i == j，将该数放入，此时Select已经排放好Qsort(a, low, i-1);   //先排左边，i-1和j-1是一样的Qsort(a, i+1, high);  //排右边}int main(){int i, a[5] = {13,4,7,8,2};Qsort(a, 0, 4);for (i = 0; i < 5; ++i)printf("%d ",a[i]);return 0;}

未完待续，示例更新中……

六、参考文献：

百度百科，分治算法，http://baike.baidu.com/view/1650802.htm