算法导论 第23章 KrusKal算法 Prim算法

终于写出来了 ，这个算法的准备工作也忒多了，先打好图的结构的基础，然后写一个实现不相交集合的数据结构，然后结合这两个结构完成这个算法。

写了两天，终于把这些都解决了，今天终于出来成果了，好激动，好\(≧▽≦)/，忍不住欢呼雀跃，功夫都没白费，不枉费我这星期六日还在写，嘿嘿~~~~~

图的最小生成树算法两种算法，一个是kruskal，一个是Prim

1） Kruskal思路很简单，

1、最开始时，每个结点都看成一棵树，使每个结点都成为一个集合，这个不相交集合我写了个arrayset结构，是基本的数组结构，代码已经在前面的文章中“不想交集的 数组表示法”中给出，只是这里将arrayset中数组的内容变为图的每个结点，类型为VertexNode<char>。

2、使这个图的边按照权重大小排列，我又重写了个结构arcLine（是不是不用重写？我还木有想到，所以就写了。。。），这个还折腾了好久。（发现其实可以重用邻接表的邻接边的结构，存进一个vector,写排序准则，然后排序，都差不多了~~）

3、然后依次遍历每条边，看是否这条边两边的结点是否处于一个集合中（用arrayset的findset判断），如果不在一个集合中，则加入最小树中，并且将这两个集合合并（使用arrayset的unionset），否则，则忽略。

图和程序的运行如下：

2）Prim算法所具有的性质是集合A（最小生成树的集合）的边总是构成一棵树，这棵树从任意一个根结点r出发，一直长大到覆盖V（顶点集）中的所有结点为止。算法每一部在连接A与A之外的结点所有边中选择一条轻量级边（权重最小的边）加入到A中。算法终止时形成一棵最小生成树。

在算法每一步，就决定了图的一个切割，每次横跨该切割的一条轻量级边被加入树中。

最开始时A = Φ，将所有的顶点存放在一个基于key属性的最小优先队列Q中，

关于这个优先队列的实现，不能直接用priority_queue,因为中间会改变key值，所以每次遍历过出队结点的邻接点后，要将这个优先队列，重新调整，使其变成一个堆，

所以我的解决办法是，直接使用stl的heap算法，而将结点的指针存储到一个vector中，使这个vector成为一个堆，重要的是要在每次key变化之后重新make_heap一下。。

对于堆的排序准则，需要自己写一个仿函数，是按照结点的key值进行排列。

对于每个结点v，属性v.key保存的是连接v和树中结点的所有边中最小边的权重。如果不存在，则为INT_MAX(今天发现可能有溢出，所以将可以将这个值改小一些), 最开始时，除了选定根结点的key会被置为0之外，其余都是最大值，因为现在结点还不存在和树中结点的最小权重边（还没有连接）。

还有一个属性是p,是结点v在树中的父节点。

算法中，当队列不空时，将队列中一个最小结点u出队（即将（u，u.p）加入最小生成树中），然后遍历u的邻接点，当它的邻接点还在Q中，且w（u, v） < v.key（因为key保存的是连接树中结点的最小权值）,将v的父节点变成u，更新v.key为w(u, v)，循环，当队列空时即构成了最小生成树。

以下为过程：

以下为代码：ALgraph.h也是前面的写的图的邻接表表示法稍微改了点，加了个边集~~~~

/************************************************************ ALGraph: 图的结构 图的操作 存储为邻接表，多加了一个边的集合arcs Date: 2013/12/29 Author: searchop************************************************************/#ifndef ALGRAPH_H#define ALGRAPH_H#include <vector>#include <queue>#include <stack>#include <iostream>#include <algorithm>#include <functional>#include "ArraySet.h"using namespace std;struct ArcLine          //每条边的结构{int source;         //边的源结点int dest;           //边的目的结点int weight;         //边的权重};//一般将关系运算符重载为非成员函数bool operator==(const ArcLine& arc1, const ArcLine& arc2){return arc1.source == arc2.dest && arc1.dest == arc2.source;/*&& weight == arc.weight;*/}//一般将关系运算符重载为非成员函数bool operator!=(const ArcLine& arc1, const ArcLine& arc2){return !(arc1 == arc2);/*&& weight == arc.weight;*/}//一般将关系运算符重载为非成员函数bool operator<(const ArcLine& arc1, const ArcLine& arc2){     return arc1.weight < arc2.weight;}/*******************************************************//*暂时没用到//比较仿函数class ArcLineCompare{public:bool operator()(const ArcLine& arc1, const ArcLine& arc2){         return arc1.weight < arc2.weight;}};//相等仿函数class equalArcLine{public:bool operator()(const ArcLine& arc1, const ArcLine& arc2){return arc1.source == arc2.dest && arc1.dest == arc2.source;}};//弧的排序准则，用于sortbool lessArcLine(const ArcLine &arc1, const ArcLine &arc2){return arc1.weight < arc2.weight;}*//*****************************************************************///邻接表的结构struct ArcNode          //表结点{int source;        //图中该弧的源节点int adjvex;        //该弧所指向的顶点的位置ArcNode *nextarc;  //指向下一条弧的指针int weight;         //每条边的权重};template <typename VertexType>struct VertexNode           //头结点{VertexType data;    //顶点信息ArcNode *firstarc;  //指向第一条依附于该顶点的弧的指针int key;            //Prim:保存连接该顶点和树中结点的所有边中最小边的权重;                         //BellmanFord:记录从源结点到该结点的最短路径权重的上界VertexNode *p;      //指向在树中的父节点int indegree;       //记录每个顶点的入度};template <typename VertexType>bool operator< (const VertexNode<VertexType>& vn1, const VertexNode<VertexType> &vn2){return vn1.key < vn2.key;}template <typename VertexType>bool operator> (const VertexNode<VertexType>& vn1, const VertexNode<VertexType> &vn2){return vn1.key > vn2.key;}template <typename VertexType>bool operator== (const VertexNode<VertexType>& vn1, const VertexNode<VertexType> &vn2){return vn1.data == vn2.data && vn1.firstarc == vn2.firstarc&& vn1.key == vn2.key && vn1.p == vn2.p;}//图的操作template <typename VertexType>class ALGraph{public:typedef VertexNode<VertexType> VNode;ALGraph(int verNum) : vexnum(verNum), arcnum(0){for (int i = 0; i < MAX_VERTEX_NUM; i++){vertices[i].firstarc = NULL;vertices[i].key = INT_MAX/2;vertices[i].p = NULL;vertices[i].indegree = 0;}}//构造图，进行选择void Create(){InitVertics();}//构造算法导论367页图，带权无向图void CreateWUDG(){cout << "构造算法导论367页图，带权无向图: " << endl;        for (int i = 0; i < vexnum; i++)        {vertices[i].data = 'a'+i;        }insertArc(0, 1, 4);insertArc(0, 7, 8);insertArc(1, 2, 8);insertArc(1, 7, 11);insertArc(2, 3, 7);insertArc(2, 8, 2);insertArc(2, 5, 4);insertArc(3, 4, 9);insertArc(3, 5, 14);insertArc(4, 5, 10);insertArc(5, 6, 2);insertArc(6, 7, 1);insertArc(6, 8, 6);insertArc(7, 8, 7);insertArc(1, 0, 4);insertArc(7, 0, 8);insertArc(2, 1, 8);insertArc(7, 1, 11);insertArc(3, 2, 7);insertArc(8, 2, 2);insertArc(5, 2, 4);insertArc(4, 3, 9);insertArc(5, 3, 14);insertArc(5, 4, 10);insertArc(6, 5, 2);insertArc(7, 6, 1);insertArc(8, 6, 6);insertArc(8, 7, 7);initArcs();/*displayArcs();*//*displayArcs1();*/}//返回结点VNode* getVertexNode(int i){         return &vertices[i-1];}//返回边ArcLine* getArcLine(int i){         return &arcs[i-1];}//打印邻接链表virtual void displayGraph(){for (int i = 0; i < vexnum; i++){cout << "第" << i+1 << "个顶点是：" << vertices[i].data<< " 顶点的入度为：" << vertices[i].indegree << " 邻接表为: ";ArcNode *arcNode = vertices[i].firstarc;while (arcNode != NULL){cout << " -> " << vertices[arcNode->adjvex].data<< "(" << arcNode->weight << ")";arcNode = arcNode->nextarc;}cout << endl;}cout << "*******************************************************" << endl;}//打印图的边集void displayArcs(){cout << "图的边的集合为(按权重从小到大的顺序排列)：" << endl;vector<ArcLine>::iterator it;int i = 0;for (it = arcs.begin(); it != arcs.end(); it++){cout << "第 " << i+1 << "条边源节点为：" << vertices[it->source].data << " 目的结点为：" << vertices[it->dest].data << "权重为：" << it->weight << endl;i++;}cout << "*******************************************************" << endl;}//kruskal算法构造最小生成树vector<ArcLine> &KRUSKAL(){//这个集合表示最后的生成树vector<ArcLine> arcvec;//这个不相交集合判断结点是否属于同一个集合ArraySet<VertexNode<char> > aset(9);//使每个结点成为一个单独的集合（变成一个aset中vec数组中的一个元素）for (int i = 0; i < vexnum; i++){aset.MakeSet1(vertices[i]);}//依次遍历图的没条边，用aset判断边两边的结点是否属于一个集合，不属于则将其//加入最小生成树，并且使这两个结点并为一个集合for (int i = 0; i < arcnum/2; i++){ArcLine *arc = &arcs[i];if (aset.FindSet(aset.getNode(arc->source)) != aset.FindSet(aset.getNode(arc->dest))){arcvec.push_back(*arc);aset.UnionSet(aset.getNode(arc->source), aset.getNode(arc->dest));}}cout << "Kruskal生成的最小生成树的边依次为：" << endl;for (int i = 0; i < arcvec.size(); i++){cout << "第 " << i+1 << "条边源节点为：" << vertices[arcvec[i].source].data << " 目的结点为：" << vertices[arcvec[i].dest].data<< "权重为：" << arcvec[i].weight << endl;} cout << "*******************************************************" << endl;return arcvec;}//PVnode排序准则class PVNodeCompare{public:bool operator() (VNode *pvnode1, VNode *pvnode2){return pvnode1->key > pvnode2->key;}};/***************************************************************************关于算法中优先队列的实现，队列中存放的是指向结点的指针，所以可以随着数组的改变而改变。因为顶点数组中的值，会一直变化，所以直接用priority_queue会产生invalid heap错误(可能是这个堆的实现要去内容能改变，除非当结点数组中有一个改变后，重新把队列清空，所有元素再进队列一次，这个应该可以，木有实现，但是根我的解决方法中思想是一致的，即原数组改变后，重新对堆调整一下)，但直接运用堆算法make_heap, pop_heap算法实现vector数组中保存的堆的内容，其实是一样的即虽然在pop时，原堆会重新调整，但调整只是将第一个元素与最后一个元素调换，然后调整第一个元素使其成为一个堆，但是此时堆中其他结点的内容已经改变了，它并没有调整其他结点使全部数组成为一个正确的堆，所以pop后调用一次make_heap算法，使这个内容已经改变的数组调整为一个堆！原来根本原因是pop中只调整了一个元素，并不管其他元素！dijkstra也一样！（T_T）终于明白了****************************************************************************///Prim算法构造最小生成树void PRIM(int i){vertices[i-1].key = 0;    //将选定结点的key设为0，以便选出第一个出队的元素//greater建立的是小顶堆，less即默认为大顶堆vector<VNode *> qvnode;   //应该建立以key为键的小顶堆for (int i = 0; i < vexnum; i++){qvnode.push_back(&(vertices[i])); //将结点的指针依次进队，并形成一个小顶堆}make_heap(qvnode.begin(), qvnode.end(), PVNodeCompare());vector<VNode> vv;     //保存依次出队的结点int arci = 0;cout << "Prim构造的最小生成树：" << endl;while (qvnode.empty() == false){VNode node = *(qvnode.front());     //选择一个队列中key最小的结点pop_heap(qvnode.begin(), qvnode.end(), PVNodeCompare());qvnode.pop_back();vv.push_back(node);         //将出队的结点放进数组，因为没有办法直接在pq中判断某一元素是否属于队列，//所以当一个元素不在vv中，即在pq中....//依次打印每条生成树的边if (node.p != NULL){cout << "第 " << ++arci << "条边源结点为：" << (node.p)->data<< " 目的结点为：" << node.data<< " 边的权重为：" << node.key << endl;}ArcNode *arc = node.firstarc;    //开始遍历node的邻接点while (arc != NULL){//当node结点的临界结点v不再Qzhong，并且v.key大于边的权重时，//更新v的key,并且将v的父结点设为node;整个过程将每个结点的key和p都更新了。if (find(vv.begin(), vv.end(), vertices[arc->adjvex]) == vv.end()&& arc->weight < vertices[arc->adjvex].key){VNode pnode = node;vertices[arc->adjvex].p = &pnode;vertices[arc->adjvex].key = arc->weight;}arc = arc->nextarc;}make_heap(qvnode.begin(), qvnode.end(), PVNodeCompare());}cout << "*******************************************************" << endl;}protected://初始化邻接链表的表头数组void InitVertics(){cout << "请输入每个顶点的关键字：" << endl;VertexType val;for (int i = 0; i < vexnum; i++){cin >> val;vertices[i].data = val;}}//插入一个表结点void insertArc(int vHead, int vTail, int weight){//构造一个表结点ArcNode *newArcNode = new ArcNode;newArcNode->source = vHead;newArcNode->adjvex = vTail;newArcNode->nextarc = NULL;newArcNode->weight = weight;//arcNode 是vertics[vHead]的邻接表ArcNode *arcNode = vertices[vHead].firstarc;if (arcNode == NULL)vertices[vHead].firstarc = newArcNode;else{while (arcNode->nextarc != NULL){arcNode = arcNode->nextarc;}arcNode->nextarc = newArcNode;}arcnum++;vertices[vTail].indegree++;         //对弧的尾结点的入度加1}//依次遍历每个结点的邻接点，遍历每条边，因为无向图，所以每条边相当于在邻接表中出现了两次//所以插入时进行一次判断，判断是否已经在边集中，没有则插入，有则放弃void initArcs(){for (int i = 0; i < vexnum; i++){            ArcNode *node = vertices[i].firstarc;while (node != NULL){ArcLine arc;                arc.source = i;arc.dest = node->adjvex;arc.weight = node->weight;//判断由邻接表生成的边集是否已经加入数组中，ArcLine要重载==操作，定义什么是相等的边if (find_if(arcs.begin(), arcs.end(), bind2nd(equal_to<ArcLine>(), arc)) == arcs.end()){arcs.push_back(arc);}/*arcs2.insert(arc);*/node = node->nextarc;}}//按照边的权重排序，ArcLine已经重载了<操作符        sort(arcs.begin(), arcs.end());}//打印源节点到i的最短路径void printPath(int i, int j){cout << "从源节点 " << vertices[i].data << " 到目的结点 "<< vertices[j].data << " 的最短路径是：" /*<< endl*/;__printPath(&vertices[i], &vertices[j]);cout << " 权重为：" << vertices[j].key << endl;}void __printPath(VNode* source, VNode* dest){if (source == dest)cout << source->data << "->";else if (dest->p == NULL)cout << " no path！" << endl;else{__printPath(source, dest->p);cout << dest->data << "->";}}private://const数据成员必须在构造函数里初始化static const int MAX_VERTEX_NUM = 20;  //最大顶点个数VNode vertices[MAX_VERTEX_NUM];      //存放结点的数组vector<ArcLine> arcs;      //存放边的数组int vexnum;             //图的当前顶点数int arcnum;             //图的弧数};#endif

/************************************************************ArraySet.h: 不相交集合的操作对于这个图，arrayset的DataType为图的结点VertexNode<char>Date: 2013/12/29Author: searchop************************************************************/#ifndef ARRAYSET_H#define ARRAYSET_H#include <iostream>#include <vector>using namespace std;template <typename DataType>struct ArrayNode  {DataType data;ArrayNode *p;           //结点的父亲int rank;        //结点的高度ArrayNode() : p(NULL), rank(0) {}};template <typename DataType>class ArraySet{public:typedef ArrayNode<DataType> Node;ArraySet(int num) : number(num){}//使每个结点成为一个单独的集合void MakeSet(){cout << "请输入 " << number << "个数据：" << endl;for (int i = 0; i < number; i++){DataType val;cin >> val;Node *nd = new Node;nd->p = nd;nd->rank = 0;nd->data = val;vec.push_back(nd);}       }void MakeSet1(DataType &data){Node *nd = new Node;nd->p = nd;nd->rank = 0;nd->data = data;vec.push_back(nd);           }Node *getNode(int i){return vec[i];}//带路径压缩的找到x所在的集合Node* FindSet(Node *x){if (x->p != x)x->p = FindSet(x->p);return x->p;}//合并集合，将rank值较小的集合合并到rank值较大的集合void UnionSet(Node *nx, Node *ny){Node *x = FindSet(nx);Node *y = FindSet(ny);if (x->rank > y->rank)y->p = x; else{x->p = y;if (x->rank == y->rank)   //当两者的rank相同，则使树根的rank增加1(y->rank)++;}}void display(){for (int i = 0; i < number; i++){cout << "第 " << i+1 << " 个结点的数据为：" << vec[i]->data << " 父节点为：" << vec[i]->p->data << " 秩为：" << vec[i]->rank << endl;}cout << "*************************************************" << endl;}~ArraySet(){for (int i = 0; i < number; i++){delete vec[i];vec[i] = NULL;}}private:vector<Node *> vec;int number;};#endif

#include "ALGraph.h"int main(){ALGraph<char> wudgGraph(9);wudgGraph.CreateWUDG();wudgGraph.displayGraph();wudgGraph.displayArcs();wudgGraph.KRUSKAL();wudgGraph.PRIM(1);system("pause");    return 0;}

运行结果为：