最大公约数的一些定理

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定理1：gcd(a,b)能整除所有a,b的公因子。

定理2：若d=gcd(a,b)那么gcd(a/d,b/d)=1。

定理3：gcd(a,b)=gcd(a+cb,b)。

定理4：gcd(a,b)是ax+by中最小的正整数。

推论4.1：若gcd(a,b)=1，那么存在x,y使得ax+by=1。

定理5：gcd(a1,a2,....an)满足交换律和结合律（可以用分治法nlogn求出）。

定理6：如果x,y是实数，那么max(x,y)+min(x,y)=x+y。

定理7：对于有理数x,存在唯一互质的两个数a,b使得x=a/b。

推论7.1：对于无理数x,不存在互质的两个数a,b使得x=a/b。

           证明：假设x=sqrt(2)是有理数，那么x=a/b，x² =a² /b² ，2b² =a² 。

                     由于2|a² ，那么2|a，设a=2c，故b² =2c² 。

                     因此2|b² 。然而gcd(a,b)=1，产生矛盾。

定理8：设a为多项式xⁿ +Cn-1 x^n-1 +...C1 x +C0 的根，其中系数C0,C1...Cn为整数。

              那么a或者为整数，或者为无理数。

定理9：若n是正奇数，那么n=a*b=s² - t² ，且是一一对应的。 

                  其中s=(a+b)/2,t=(a-b)/2。

定理10：费马数Fn的每个素因子都形如2ⁿ⁺²k+1。

定理11：F0*F1*F2*...Fn-1=Fn-2。

定理12：a1x1+a2x2+...+anxn=c有解当且仅当gcd(a1,a2...an)=1。