学校1006: Joseph的大M问题

Description
经典的Joseph问题。有n个人围成一个圈，从1到n编号。从1号开始报数，报到m的出列，然后接着从1开始报数。求最后剩下的那个人的编号。 

Input
第一行为一个正整数，表示有多少组测试数据。每组测试数据有两个数n和m。(n<10^4，m<10^9) 
Output
每组数据对应一行输出，代表最终留下的那个人的编号。 
Sample Input
3
5 2
10 2
9999 999999999
Sample Output
3
5

3527

方法一：用队列来做，把第一位移到最后一位，报数的后一位为第一位，反复进行，缺陷在于大数据时，数组会不够大，wa了。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define N 300000int a[N];int main(){    long m;    long t,n,i,j,front,rear;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        scanf("%ld%ld",&n,&m);        for(i=0; i<n; i++)            a[i]=i+1;        front=0;        rear=n;        while(front!=(rear-1))        {            for(j=0; j<m-1; j++)                a[rear+j]=a[front+j];            front+=m;            rear+=m-1;        }        printf("%d\n",a[front]);    }    return 0;}

方法二：数学方法

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int  main( void ){    long  n, m, i, s;    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {    s=0;    scanf("%d%d", &n, &m);    for (i=2; i<=n; i++)        s=(s+m)%i;    printf ("%d\n", s+1);    }    return 0 ;}

来源 http://baike.baidu.com/link?url=ACc8ktpw11fI7wEuLSFbLZtZOzsllM7_b_ZlJYeLc_B_D_FmGfU12PTizJNDpn7R

写完密码约瑟夫就想到原来看到约瑟夫问题的一个数学解法 很巧妙很简单不过只能推出最后一个出列的人

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1） mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式

f[1]=0;

f=(f+m) mod i; (i>1）

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单。