乱谈数学--傅里叶变换(级数)的原理(一)
来源:互联网 发布:淘宝回心转意符有用吗 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 23:57
乱谈数学--傅里叶变换(级数)的原理(一)
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一直都没有搞清楚傅里叶变换,那些公式一看就“懂”,但合上书就忘,因为从来就没有真正地理解过。但傅里叶变换实在是太重要了,随手翻一本信号,电路的书,都能看到它的身影,避是避不开的。想要真正的入门电子系统的设计,还是硬着头皮继续捉摸吧。
之前很“排斥”傅里叶变换的一个很重要的原因是因为“傅里叶变换选择的是基是三角函数。”,正如之前的博文中写到,我从中学开始对三角非常反感,所以对傅里叶变换显然从来就没有真正思考和接受过。不过有之前对三角函数的反思,现在也可以重新对傅里叶变换进行理解。是的,首先就让自己对“傅里叶变换使用三角函数系做基”有个满意的解释。
不知道傅里叶老师本人当时到底是怎么想的(到底是因为他的问题本身对使用三角函数特别有启发性,还是灵光一闪),我无从追究(暂时没有这个精力去看他老爷子的著作),既然傅氏变换能有如此广泛的适用性,那么三角函数系本身一定有特别的性质,把这个弄清楚就好了。不过,三角函数那些漂亮的数学性质不是本文的重点,这里我想讨论一点“虚”的东西。
从工程中的研究对象来说,我们处理的函数(或是信号)都是一定的能量的体现,比如电压,电流,比如力造成的位移等等。如果是非常规律的信号,比如那些初等函数就可以表示的,那自然是没什么好说,所有性质都研究地透透的。不过自然界极少存在这样理想的信号,我们遇到的信号都是非常不规律的。比如我们说话的声音,转成电信号(或是数字信号)时,从时域的波形来看简直就不知道那是些什么东西。但我们知道,造成这些信号的“来源”,其实是能量(或是力,这么说可能在物理上不一定对,不过能帮助我理解)。我们如果能把这些能量做线性的分解(线性组合是最简单的组合关系,所以我们先尽量做线性地分解),那么可能就能找到一些处理这些信号的方法。
分解成一堆恒定(常量)的力是不行的,因为恒定的力带有的“特性”太少,做线性组合之后的结果还是恒定的。那么我们需要找一种“变化元素(力)”,它不能过于复杂,复杂到对它本身我们也无法研究,那就没有意义了。同时它还得具备比较好的,有代表性的“变化特性”,否则无法用这些元素来表达丰富的变化。这个“变化元素”的最佳人选是什么呢?就是简谐振动的“力”。在简谐振动中,驱动振动的力的大小是与物体离中心的距离成正比的 F=-kx(x是位移),方向则始终指向振动的中心点。这个力是变化规律是线性的,线性是变化中最简单的一种了,这个好,而且它还有两个很好的特征,一个是它是周期性的,另一个是它是“相对某一原点对称的”,太美了!从中学的物理中我们就知道了,简谐振动的运动方程正是三角函数,简谐振动的性质我们也已经研究得透透的了。而三角函数正是傅里叶变换的基。
是的,就是这样了,傅里叶变换的就是把一个复杂的信号的“驱动(力)源”,分解成一系列相对简单的力(简谐振动)来分析,从信号的形状(波形)来看,就是把函数分解成一系列的三角函数。这就很好理解的,我们就是要找到方向,把未知化为已知,这是一个很好的“方向”,那么,傅里叶变换下一个问题,就是是不是所有的信号都可以这样分解呢?反过来说,是不是“简谐振动”的这种力(能量)的线性组合,可以组合出所有各种变化的力(能量)呢?
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