线性代数中的范数

来源：互联网发布：格兰杰詹姆斯数据编辑：程序博客网时间：2024/05/01 05:52

向量范数

0-范数：向量中非零元素个数
1-范数： $||x||_1 = \sum_{i=1}^N|x_i|$ ，即向量元素绝对值之和，matlab调用函数norm(x, 1) 。
2-范数： $||\textbf{x}||_2 =\sqrt{\sum_{i=1}^Nx_i^2}$ ，Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方，matlab调用函数norm(x, 2)。
$\infty$ -范数： $||\textbf{x}||_\infty = \max_{i}|x_i|$ ，即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab调用函数norm(x, inf)。
$-\infty$ -范数： $||\textbf{x}||_{-\infty}=\min_i|x_i|$ ，即所有向量元素绝对值中的最小值，matlab调用函数norm(x, -inf)。
p-范数： $||\textbf{x}||_p = (\sum_{i=1}^N|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$ ，即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，matlab调用函数norm(x, p)。

矩阵范数

1-范数： $||A||_1 = \max_j\sum_{i=1}^m|a_{i,j}|$ ，列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, 1)。
2-范数： $||A||_2 = \sqrt{\lambda_1}$ ， $\lambda<br/>$ 为的最大特征值。，谱范数，即A’A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。
$\infty$ -范数： $||A||_\infty = \max_i\sum_{j=1}^N|a_{i,j}|$ ，行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, inf)。
F-范数： $||A||_F=\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{i,j}|^2\right)^{\frac{1}{2}}$ ，Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。
核范数：是A的奇异值。即奇异值之和

作者：魏通
链接：https://www.zhihu.com/question/20473040/answer/102907063
来源：知乎
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