【214最长单调递增子序列 NYOJ 二分搜索 和动态】

题目链接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=214

1. 算法复杂度是O(N*N)

f[i]是以a[i]为最大值的子序列，那么f[]的最大值就是要的结果。

int f[],a[];

f[0] = 1;

for(i = 1 ; i < n ; i++ )

{

　　f[i] = 1;

　　for(j = 0 ; j < i ; j++)

　　{

　　　　If(a[j] < a[i] && f[j]+1 > f[i])//等号有没有要视题目而定

　　　　{

　　　　　　f[i] = f[j] +1;

　　　　}

　　}

}

很显然实践复杂度是O(N*N)，那么有没有更快的算法呢？按照正常的思路更快的复杂度应该就是O(N*logN)，那么就要涉及到二分了。

 

2. 算法复杂度是O(N*logN)

这是一个很好的题目。题目的算法还是比较容易看出来的，就是求最长上升子序列的长度。

不过这一题的数据规模最大可以达到40000，经典的O(n^2)的动态规划算法明显会超时。

我们需要寻找更好的方法来解决是最长上升子序列问题。

先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法，设A[i]表示序列中的第i个数，F[i]表示从1到i这一段

中以i结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。

现在，我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足

(1) x < y < i

(2) A[x] < A[y] < A[i]

(3) F[x] = F[y]

此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，

应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？

很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[i-1]这一段中，

如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。

再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，

我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。设D[k]记录这个值，

即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。

 

注意到D[]的两个特点：

 

(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。

(2) D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。

 

利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的

最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D[len]。若A[i] > D[len]，

则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[i]；

否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[i]。令k = j + 1，则有D[j] < A[i] <= D[k]，

将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新D[k] = A[i]。

最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。

 

在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，

每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。

但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度

下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的

最长上升子序列！

 

这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题，整个算法的难点在于二分查找的设计，需要非常小心注意。

*/

#include<cstdio>const int N=100000+5;using namespace std;int a[N],dp[N];int binarysearch(int k,int len){    int right=len;    int left=1;    while(left<=right){        int   mid=left+(right-left)/2;        if(k==dp[mid])            return mid;        if(k>dp[mid])            left=mid+1;        else            right=mid-1;    }    return left;}int main(){        int n;        while(~scanf("%d",&n)){            int len, t;            for(int i=0;i<n;i++)                scanf("%d",&a[i]);            len=1;            dp[1]=a[0];            for(int i=1;i<n;i++){                t=binarysearch(a[i],len);                dp[t]=a[i];                if(t>len){                    len=t;                }            }            printf("%d\n",len);        }}