动态规划练习题

最近学习算法，刚刚接触动态规划，整了一下午终于整对一道题，发到博客供交流及复习。

先大致总结一下自己理解的动态规划。

动态规划的两个特点：

1，当前状态的最优解可以由上一个状态的最优解推出（子问题有最优解）

2，整个求解过程中许多状态会被多次求解（重叠子问题）

解决动态规划问题时，首先要自顶向下分析（求得递归式），再自底向上写代码（避免重复求解子问题）。

题目如下：

假设我们有8种不同面值的硬币｛1，2，5，10，20，50，100，200｝，用这些硬币组合够成一个给定的数值n。例如n=200，那么一种可能的组合方式为 200 = 3 * 1 + 1＊2 + 1＊5 + 2＊20 + 1 * 50 + 1 * 100. 问总过有多少种可能的组合方式？（原题及数学分析见http://www.cnblogs.com/python27/p/3303721.html）

自顶向下的分析见上述链接，我这里给出自底向上的分析。

设一个200*8的二维数组c[200][8]，令c[i][j]的值表示：用前j个硬币组合出数值i的所有可能组合总数，如c[100][3]表示用面值为1、2和5的硬币组合成100的可能组合数，则可以得出如下矩阵：

上述矩阵每个元素c[i][j] = sum(c[k][j-1])

其中k=（i, i-1*Vj, i-2*Vj, ……,i mod Vj）。Vj表示子问题由由前j-1个硬币转移到前j个硬币时所添加的硬币面值（如由前2个硬币可用转移到前3个硬币可用时，添加的硬币面值为5，则V3=5）

例如c[6][3] = c[6][2]+c[1][2]，其实从这个例子很容易理解其中的原理：c[6][3](用1、2、5三个硬币组合成6的组合数)等于两个子问题的和，一个子问题是c[6][2]（用1、2组合成6的组合数，即使用任意数量的1、2而使用0个5），另一个子问题是c[1][2]（用1、2组合成1的组合数，即使用任意数量的1、2同时使用1个5）

附代码：

#include <iostream>using namespace std;/*void print(int **a, int xx, int yy) {for (int x = 0; x < xx; x++) {for (int y = 0; y < yy; y++) {cout << a[x][y] << " ";}cout << endl;}}*/int GetCombines(int CoinValue[], int CoinNumber, int Goal) {int **dp = new int*[Goal + 1];int ret;for (int i = 0; i <= Goal; i++) {dp[i] = new int[CoinNumber];}for (int i = 0; i <= CoinNumber; i++) {dp[0][i] = 1;}for (int j = 1; j <= CoinNumber; j++) {for (int i = 1; i <= Goal; i++) {for (int k = i; k >= 0; k = k - CoinValue[j - 1]) {dp[i][j] += dp[k][j - 1];}}}//print(dp, Goal, CoinNumber);ret = dp[Goal][CoinNumber];for (int i = 0; i <= Goal; i++) {delete dp[i];}delete dp;return ret;}int main() {int CoinValue[] = { 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 };int CoinNumber = 8;int Goal = 200;cout << GetCombines(CoinValue, CoinNumber, Goal) << endl;}