约瑟夫环问题

问题描述：
      约瑟夫环问题(Josephus)
      用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）

解法一(My Solution)：
      思想：建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并记数，如果计数i==m(i初始为1)踢出元素，继续循环，当当前元素与下一元素相同时退出循环。
代码：

/* 约瑟夫环问题(Josephus) 用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus） Code By Eric Yang 2009 http://ericyang.cnblogs.com*/#include <stdio.h>#include <stdlib.h>// 链表节点typedef struct _RingNode{    int pos;  // 位置    struct _RingNode *next;}RingNode, *RingNodePtr;// 创建约瑟夫环，pHead:链表头指针，count:链表元素个数void CreateRing(RingNodePtr pHead, int count){    RingNodePtr pCurr = NULL, pPrev = NULL;    int i = 1;    pPrev = pHead;    while(--count > 0)    {        pCurr = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));        i++;        pCurr->pos = i;        pPrev->next = pCurr;        pPrev = pCurr;    }    pCurr->next = pHead;  // 构成环状链表}void PrintRing(RingNodePtr pHead){    RingNodePtr pCurr;    printf("%d", pHead->pos);    pCurr = pHead->next;    while(pCurr != NULL)    {        if(pCurr->pos == 1)            break;        printf("\n%d", pCurr->pos);        pCurr = pCurr->next;    }}void KickFromRing(RingNodePtr pHead, int m){    RingNodePtr pCurr, pPrev;    int i = 1;    // 计数    pCurr = pPrev = pHead;    while(pCurr != NULL)    {        if (i == m)        {            // 踢出环            printf("\n%d", pCurr->pos);    // 显示出圈循序            pPrev->next = pCurr->next;            free(pCurr);            pCurr = pPrev->next;            i = 1;        }        pPrev = pCurr;        pCurr = pCurr->next;        if (pPrev == pCurr)        {            // 最后一个            printf("\n%d", pCurr->pos);    // 显示出圈循序            free(pCurr);            break;        }        i++;    }}int main(){    int m = 0, n = 0;    RingNodePtr pHead = NULL;    printf("---------------Josephus Ring---------------\n");    printf("N(person count) = ");    scanf("%d", &n);    printf("M(out number) = ");    scanf("%d", &m);    if(n <= 0 || m <= 0)    {        printf("Input Error\n");        system("pause");        return 0;    }    // 建立链表    pHead = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));    pHead->pos = 1;    pHead->next = NULL;    CreateRing(pHead, n);#ifdef _DEBUG    PrintRing(pHead);#endif    // 开始出圈    printf("\nKick Order: ");    KickFromRing(pHead, m);        printf("\n");    system("pause");    return 0;}

解法二(From Net)：
      思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

#include <stdio.h>int main(){    int n, m, i, s = 0;    printf ("N M = ");    scanf("%d%d", &n, &m);    for (i = 2; i <= n; i++)    {        s = (s + m) % i;    }    printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);}

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

相比之下，解法二的优越性不言而喻，同时说明数学确实很重要。

转载出处：http://www.cnblogs.com/EricYang/archive/2009/09/04/1560478.html