1的数目及扩展到n的数目

来源：互联网发布：孙宏斌和柳传志知乎编辑：程序博客网时间：2024/04/29 18:44

给定一个十进制数N，写下从1开始的所有整数，然后数一下其中出现的报所有“1”的个数。

例如：

N = 2 ，写下1 ， 2 。这样只出现了一个“1”。

N = 12 ，我们会写下1 ，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。这样，1 的个数是5。

问题是：

1 ，写下一个函数f(N),返回1 到 N 之间出现的“1”的个数，比如f(12) = 5;

2 ，满足条件" f(N) = N " 的最大的N是多少？

方法一：枚举

方法二：

先看1位数的情况。

如果N = 3 ，那么从1 到3的所有数字：1 ， 2 ， 3 ，只有个位上可能出现1，并且1 的个数为1 个，且进一步发现如果N 是个位数，且N>= 1,那么f(N) 等于1 ， N = 0 ， f(N) = 0;

再看两位数的情况。

如果N = 13 ，那么从1 到 13 的所有数字：1 ，2 ，3 ，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，个位和十位的数字都可能为1 ，我们分开考虑。个位出现1 的次数有两次，1 和 11 ，十位出现1 的次数有4次：10，11，12，13，所以f(N) = 2+4 = 6；要注意的是11 这个数字在十位和个位都出现了1，但是11恰好被计算了一次，所以不用特殊处理。再考虑23的情况，它的十位出现1的次数为十次，从10到19，个位出现1的次数为1 ， 11 ， 21 ，所以f(N) = 3 + 10 = 13 。通过对两位数进行分析，我们可以发现，个位数出现1 的个数不仅和个位数字有关，还和十位数有关：如果N的个位数大于等于1 ，则N 的个位出现1的个数为十位数的数字加1。如果N的个位数的数字小于1，则N的个位出现1的个数为十位数的数字。而十位出现1的次数也类似：如果十位数字等于1，则十位数1的个数为个位数字加1；如果十位数大于1 ，则十位数1的个数为10次。

接着分析三位数

如果N = 123 ，那么个位是3大于1，所以个位的数字有1 ， 11，21，31，41，51，61，71，81，91，101，111，121，共13个（13*1），因为十位是2大于1，十位是1的有10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，共20个（2*10），百位出现1的有101，102，103，104，105，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120，121，122，123共24个(0*100+23+1)，等于百位以前的数字23加1.

依此类推四位数，五位数，等等。

代码如下：

int getsum(int n){    int factor = 1;    int icount = 0;    int ihigh = 0;    int icurrent = 0;    int ilow = 0;    while(n / factor)    {        ilow = n%factor;        icurrent = n/factor%10;        ihigh = n/factor/10;        switch(icurrent)        {            case 0:icount += ihigh * factor;break;            case 1:icount += ihigh * factor + ilow + 1;break;            default:icount += (ihigh+1)*factor;break;        }        factor *= 10;    }    return icount;}

完整代码：

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;int getsum(int n){    int factor = 1;    int icount = 0;    int ihigh = 0;    int icurrent = 0;    int ilow = 0;    while(n / factor)    {        ilow = n%factor;        icurrent = n/factor%10;        ihigh = n/factor/10;        switch(icurrent)        {            case 0:icount += ihigh * factor;break;            case 1:icount += ihigh * factor + ilow + 1;break;            default:icount += (ihigh+1)*factor;break;        }        factor *= 10;    }    return icount;}int main(){    int n ;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        cout << getsum(n) << endl;    }    return 0;}

拓展：

求任意0到N 的十进制数中base的个数。

把上面的代码稍做改变，如下：

int getsum(int n , int base){    int kuozhan = 1;    int factor = 1;    int icount = 0;    int ihigh = 0;    int icurrent = 0;    int ilow = 0;    for(int i = 0; i <= (int)log10(base); i ++)        kuozhan *= 10;    while(n / factor)    {        ilow = n%factor;        icurrent = n/factor%kuozhan;        ihigh = n/factor/kuozhan;        if(icurrent < base) icount += ihigh * factor;        else if(icurrent == base) icount += ihigh * factor + ilow + 1;        else if(icurrent > base) icount += (ihigh+1)*factor;        factor *= 10;    }    return icount;}

完整代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>using namespace std;int getsum(int n , int base){    int kuozhan = 1;    int factor = 1;    int icount = 0;    int ihigh = 0;    int icurrent = 0;    int ilow = 0;    for(int i = 0; i <= (int)log10(base); i ++)        kuozhan *= 10; //base的位数    while(n / factor)    {        ilow = n%factor;    //incurrent 右侧低位数字        icurrent = n/factor%kuozhan;  //每次取base位数的长度        ihigh = n/factor/kuozhan;   //incurrent高位左侧数字        if(icurrent < base) icount += ihigh * factor; //如果incurrent小于base，则与base数目只与ihigh有关        else if(icurrent == base) icount += ihigh * factor + ilow + 1; //如果incurrent等于base，则数目与ihigh和ilow有关        else if(icurrent > base) icount += (ihigh+1)*factor; //如果incurrent大于base，则base数目与ihigh有关        factor *= 10; //进位，这道题可以直接把进位设为base长度吗？不可以！为什么，自己想。    }    return icount;}int main(){    int n , base;    while(scanf("%d%d",&n,&base)!=EOF)    {        cout << getsum(n , base) << endl;    }    return 0;}

还可以拓展到任意R进制的0到n中base的数目。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>using namespace std;int getsum(int n , int base, int r){    int kuozhan = 1;    int factor = 1;    int icount = 0;    int ihigh = 0;    int icurrent = 0;    int ilow = 0;    int temp = base;    while (temp) temp /= r, kuozhan *= r; //base的位数    cout <<"kuozhan = "<<kuozhan<<endl;    while(n / factor)    {        ilow = n%factor;    //incurrent 右侧低位数字        icurrent = n/factor%kuozhan;  //每次取base位数的长度        ihigh = n/factor/kuozhan;   //incurrent高位左侧数字        if(icurrent < base) icount += ihigh * factor; //如果incurrent小于base，则与base数目只与ihigh有关        else if(icurrent == base) icount += ihigh * factor + ilow + 1; //如果incurrent等于base，则数目与ihigh和ilow有关        else if(icurrent > base) icount += (ihigh+1)*factor; //如果incurrent大于base，则base数目与ihigh有关        factor *= r; //进位，这道题可以直接把进位设为base长度吗？不可以！为什么，自己想。    }    return icount;}int main(){    int n , base, r;    while(scanf("%d%d%d",&n, &base, &r)!=EOF)    {        cout << getsum(n , base, r) << endl;    }    return 0;}

到这里，这类题型就可以套用上面的模板解决了！

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