2014 编程之美 资格赛 第三题 格格取数（二分图带权最小边覆盖）

二分图的最小点覆盖还是很常见的。。这种边覆盖还是第一次见。

题目是给出一个n*m的矩阵，每个点是一个值，求取出权值和最小的点来把各行各列都覆盖。

于是转换成一个二分图，左边n个点，右边m个点，中间的边就是原来矩阵的每个点，求权值和最少的边把左右两排点覆盖。

使用最小费用最大流，构图如下：

添加原点和超级原点，汇点和超级汇点。

超级原点到原点流量为n*m，花费为0；

汇点到超级汇点流量为n*m，花费为0；

左边2*n个点，右边2*m个点。

上方的n，m个点是用来约束覆盖的：流量为1，费用为负无穷

下方的n,m个点是用来提供边的：流量为m，n（其实就是无穷），费用为0

关键：从原点到汇点添加流量为n*m,费用为0的边，用来分流

最终结果加上一个（n+m）*负无穷

图大致如下：（n=4，m=5）

套的费用流模板

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<algorithm>using namespace std;int n,m;const int N = 500;//点const int M = 2 * 100000;//边const int inf = 1000000000;const int lala = 100000;struct Node{//边，点f到点t，流量为c，费用为wint f, t, c, w;}e[M];int next1[M], point[N], dis[N], q[N], pre[N], ne;//ne为已添加的边数，next，point为邻接表,dis为花费，pre为父亲节点bool u[N];void init(){memset(point, -1, sizeof(point));ne = 0;}void add_edge(int f, int t, int d1, int d2, int w){//f到t的一条边，流量为d1,反向流量d2,花费w,反向边花费-w（可以反悔）e[ne].f = f, e[ne].t = t, e[ne].c = d1, e[ne].w = w;next1[ne] = point[f], point[f] = ne++;e[ne].f = t, e[ne].t = f, e[ne].c = d2, e[ne].w = -w;next1[ne] = point[t], point[t] = ne++;}bool spfa(int s, int t, int n){int i, tmp, l, r;memset(pre, -1, sizeof(pre));for(i = 0; i < n; ++i)dis[i] = inf;dis[s] = 0;q[0] = s;l = 0, r = 1;u[s] = true;while(l != r) {tmp = q[l];l = (l + 1) % (n + 1);u[tmp] = false;for(i = point[tmp]; i != -1; i = next1[i]) {if(e[i].c && dis[e[i].t] > dis[tmp] + e[i].w) {dis[e[i].t] = dis[tmp] + e[i].w;pre[e[i].t] = i;if(!u[e[i].t]) {u[e[i].t] = true;q[r] = e[i].t;r = (r + 1) % (n + 1);}}}}if(pre[t] == -1)return false;return true;}void MCMF(int s, int t, int n, int &flow, int &cost){//起点s，终点t，点数n，最大流flow，最小花费costint tmp, arg;flow = cost = 0;while(spfa(s, t, n)) {arg = inf, tmp = t;while(tmp != s) {arg = min(arg, e[pre[tmp]].c);tmp = e[pre[tmp]].f;}tmp = t;while(tmp != s) {e[pre[tmp]].c -= arg;e[pre[tmp] ^ 1].c += arg;tmp = e[pre[tmp]].f;}flow += arg;cost += arg * dis[t];}}//建图前运行init()//节点下标从0开始//加边时运行add_edge(a,b,c,0,d)表示加一条a到b的流量为c花费为d的边（注意花费为单位流量花费）//特别注意双向边，运行add_edge(a,b,c,0,d),add_edge(b,a,c,0,d)较好，不要只运行一次add_edge(a,b,c,c,d),费用会不对。//求解时代入MCMF(s,t,n,v1,v2)，表示起点为s，终点为t，点数为n的图中，最大流为v1，最大花费为v2int main(){int T,R=0;scanf("%d",&T);while(T--){R++;scanf("%d%d",&n,&m);int i,j,ta,v1,v2,ans;init();for(i=1;i<=m;i++){add_edge(0,i,1,0,-lala);add_edge(0,m+i,n,0,0);}for(i=1;i<=n;i++){add_edge(m*2+i,m*2+n*2+1,1,0,-lala);add_edge(m*2+n+i,m*2+n*2+1,m,0,0);}add_edge(m*2+n*2+2,0,m*n,0,0);add_edge(m*2+n*2+1,m*2+n*2+3,m*n,0,0);add_edge(0,m*2+n*2+1,n*m,0,0);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&ta);add_edge(j,m*2+i,1,0,ta);add_edge(j,m*2+n+i,1,0,ta);add_edge(m+j,m*2+i,1,0,ta);add_edge(m+j,m*2+n+i,1,0,ta);}MCMF(m*2+n*2+2,m*2+n*2+3,m*2+n*2+4,v1,v2);ans=v2+(n+m)*lala;printf("Case %d: %d\n",R,ans);}return 0;}