《Thinking In Algorithm》15.堆结构之二项堆

堆的变体：

• 二叉堆

• 二项堆

• 斐波那契堆

上篇博客中我讲了下数据结构二叉堆，而今天讲的二项堆与他最大的不同是它可以快速的合并成两个堆，通过一个特殊的树结构完成的。

下面列出了三种堆的时间复杂的比较。

次那个上面我们可以看出与二叉堆的差别在于找到最小元素和合并。

二叉堆查找最小元素的时间复杂度为O(1),而二项堆: O(lgn)

二叉堆合并花费：O(n)，二项堆：O(lgn)

二项堆是二项树的集合。所以我们讲二项堆之前先来弄明白二项树。

1.二项树

如下图中所示，树B0是由一个结点构成的，Bk是由两棵Bk-1的树组成的，是通过连接他们的树根组成的。即其中一棵树的根变成另一棵树的最左边的孩子。

对于二项式的定义如下：

• 度数为0的二项树只包含一个结点
• 度数为k的二项树有一个根结点，根结点下有k个子女，每个子女分别是度数分别为的二项树的根

二项树（从左至右度数分别为0至3

• 度数为k的二项树共有个结点，高度为。在深度d处有（二项式系数）个结点。
• 度数为k的二项树可以很容易从两颗度数为k-1的二项树合并得到：把一颗度数为k-1的二项树作为另一颗原度数为k-1的二项树的最左子树。这一性质是二项堆用于堆合并的基础。

2. 二项堆

二项堆H是满足二项堆特性的二项树的集合。

• 二项堆中每棵二项树都遵循最小堆的特性：即一个结点的值大于或等于他父亲的值。
• 不能有两棵或以上的二项树有相同度数（包括度数为0）。换句话说，具有度数k的二项树有0个或1个。

以上第一个性质保证了二项树的根结点包含了最小的关键字。第二个性质则说明结点数为的二项堆最多只有棵二项树。实际上，包含n个节点的二项堆的构成情况，由n的二进制表示唯一确定，其中每一位对应于一颗二项树。例如，13的二进制表示为1101, , 因此具有13个节点的二项堆由度数为3, 2, 0的三棵二项树组成。如下图，a中是简洁的表示法，b中更加详细的表示。

二项树的表示方法：

就像上图中的b图，每个二项树利用左孩子右兄弟的方法保存在二项堆中。对于结点x有一个指向父亲的节点p(x),和指向孩子的指针child[x]，和指向右兄弟结点的sibling[x]。如果结点x是根节点那么p[x]=NIL.如果节点x没有孩子，那么child[x]=NIL，如果x是父亲最右边的孩子，那么sibling[x]=NIL。x节点有一个度degree[x]表示节点x孩子的数量。

在二项堆中，每棵二项树的树根用链表链接起来，树根的度是严格递增的。

二项堆通过head[H]指向第一个树根这样建立起来的，如果二项堆中没有元素，那么head[H]=NIL.

3. 二项堆的操作

3.1 创建一个二项堆

只需要创建一个对象H，且head[H]=NIL.时间复杂度为O(1).

3.2 找出最小值

因为二项堆是一个最小堆，所以最小的数是在根结点中。从二项堆的第二个性质我们可以知道，一个有n个节点的二项堆最多有lg[n]+1棵树。所以他的时间复杂度为O(lg[n]).实现代码如下：

BINOMIAL-HEAP-MINIMUM(H)1  y ← NIL2  x ← head[H]3  min ← ∞4  while x ≠ NIL5     do if key[x] < min6           then min ← key[x]7                y ← x8         x ← sibling[x]9  return y

3.3 合并两个二项堆

要合并两个二项堆，那么首先要做的是怎样合并两棵二项树，我们假设根结点为y的二项树合并到根结点为z的二项树，y变为z的最左孩子。操作如下：

BINOMIAL-LINK(y, z)1  p[y] ← z2  sibling[y] ← child[z]3  child[z] ← y4  degree[z] ← degree[z] + 1

完成了合并两棵二项树之后，那么我们来进行二项堆的合并。下面代码中用到的BINOMIAL-HEAP-MERGE(H1,H2)操作就是将h1和h2的根列表按照度数递增的顺序重新排列成一个新的二项堆。

BINOMIAL-HEAP-UNION(H1, H2) 1  H ← MAKE-BINOMIAL-HEAP() 2  head[H] ← BINOMIAL-HEAP-MERGE(H1, H2) 3  free the objects H1 and H2 but not the lists they point to 4  if head[H] = NIL 5     then return H 6  prev-x ← NIL 7  x ← head[H] 8  next-x ← sibling[x] 9  while next-x ≠ NIL10      do if (degree[x] ≠ degree[next-x]) or                 (sibling[next-x] ≠ NIL and degree[sibling[next-x]] = degree[x])11            then prev-x ← x                                ▹ Cases 1 and 212                 x ← next-x                                ▹ Cases 1 and 213            else if key[x] ≤ key[next-x]14                    then sibling[x] ← sibling[next-x]          ▹ Case 315                         BINOMIAL-LINK(next-x, x)               ▹ Case 316                    else if prev-x = NIL                        ▹ Case 417                            then head[H] ← next-x              ▹ Case 418                            else sibling[prev-x] ← next-x       ▹ Case 419                         BINOMIAL-LINK(x, next-x)               ▹ Case 420                         x ← next-x                            ▹ Case 421         next-x ← sibling[x]22  return H

可能直接拿出代码来，你还一头雾水，不要紧，我们跟着代码走一遍的话就懂了。下图是上面代码的运行过程。

从上图中我们可以看出，a-->b执行的是BINOMIAL-HEAP-MERGE(H1,H2)操作，b-->c时，因为不满足代码10行的条件，所以直接跳到13行，并且满足条件，进入else if中，即case3。同理这样一直先去得到最终情况f。算法导论中是这样解释的：

The execution of BINOMIAL-HEAP-UNION. (a) Binomial heaps H₁ and H₂. (b) Binomial heap H is the output of BINOMIAL-HEAP-MERGE(H₁, H₂). Initially,x is the first root on the root list of H . Because both x and next-x have degree 0 and key[x] < key[next-x], case 3 applies. (c) After the link occurs, x is the first of three roots with the same degree, so case 2 applies. (d) After all the pointers move down one position in the root list, case 4 applies, since x is the first of two roots of equal degree. (e) After the link occurs, case 3 applies. (f) After another link, case 1 applies, because x has degree 3 and next-x has degree 4. This iteration of thewhile loop is the last, because after the pointers move down one position in the root list, next-x = NIL.

3.4 插入一个节点

假设插入节点x到二项堆H中，x的值为key[x]。我们直接来分析其代码：

BINOMIAL-HEAP-INSERT(H, x)1  H′ ← MAKE-BINOMIAL-HEAP()2  p[x] ← NIL3  child[x] ← NIL4  sibling[x] ← NIL5  degree[x] ← 06  head[H′] ← x7  H ← BINOMIAL-HEAP-UNION(H, H′)

其实插入节点的操作用到了两个我们之前介绍的操作，一个是创建二项堆，另一个就是合并两个二项堆。我们插入一个新的节点，就是先创建一个新的二项堆，其中只含有x节点，然后将新创建的二项堆与要插入的二项堆合并。

3.5  提取出最小值的节点

即从二项堆中提取出最小值的节点，返回一个指向该节点的指针

BINOMIAL-HEAP-EXTRACT-MIN(H)1  find the root x with the minimum key in the root list of H,            and remove x from the root list of H2  H′ ← MAKE-BINOMIAL-HEAP()3  reverse the order of the linked list of x's children,            and set head[H′] to point to the head of the resulting list4  H ← BINOMIAL-HEAP-UNION(H, H′)5  return x

上面伪代码的操作流程如下图：

简单解释下代码的运行过程:(a)要插入的二项堆H；(b)利用2.3中的方法找到最小值节点，并从H中删除；(c)新建一个二项堆H'，将最小值节点x的孩子颠倒顺序并存入到二项堆H'中；(d)然后合并H和H'就得到删除最小节点后的二项堆。

3.6 减少某个节点的值

即减少某个节点x的值至一个新的值k。如果k比x本身的值还大，则返回错误信息。代码如下：

BINOMIAL-HEAP-DECREASE-KEY(H, x, k) 1 if k > key[x] 2    then error "new key is greater than current key" 3 key[x] ← k 4 y ← x 5 z ← p[y] 6 while z ≠ NIL and key[y] < key[z] 7     do exchange key[y] ↔ key[z] 8        ▸ If y and z have satellite fields, exchange them, too. 9        y ← z10        z ← p[y]

因为减少了x节点的值后，他可能违反了二项堆的性质1即子节点的值要大于父节点，所以要对其进行修复，4－10行就是在修复。图中表示的就是将x节点的值减到7，然后对他进行调整。时间复杂度为O(lgn),因为二项堆的高度最多为o(lgn)

3.7 删除元素

删除元素主要用到上面的两个操作，一个是3.5去除堆中最小值，第二个是3.6将某一节点减少之多大。时间复杂度为O(lgn).下面是为代码

BINOMIAL-HEAP-DELETE(H, x)1  BINOMIAL-HEAP-DECREASE-KEY(H, x, -∞)2  BINOMIAL-HEAP-EXTRACT-MIN(H)