约瑟夫环问题

           这部分是我理解约瑟夫环问题。

           约瑟夫环问题的原来描述为，设有编号为1，2，……，n的n(n>0)个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈，再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈为止。当任意给定n和m后，求出最后胜利者的编号。

 

           两种思路：

               第一种模拟法，模拟游戏的全过程，时间复杂度为O(m*n)。  

              一开始模拟法的时间复杂度是O(M*N) 没弄懂，当时思考，如果是链表 时间复杂度的确O(m*n)，可是数组呢？数组查找到一个目标所用的时间复杂度为O(1)，n个数那就O(n)呗。 为啥别人的博客都说是O(M*N)，最后我思考如果我用数组写这个程序的思路，发现第一次循环可以直接用O(1)找出报数的结点，可下一次循环，就不好找了，思考后的解决办法是把找到的结点赋值为负数表示为已找过，这样循环下来找到最后的结果时间复杂度为O(m*n)。。。无语。。。

 

            第二种是运用数学思想。

            资料来源：http://blog.163.com/soonhuisky@126/blog/static/157591739201321341221179/

            资料来源：http://tieba.baidu.com/p/835412434

 

          看了资料才稍微懂了点，引用资料2的例子：令 m=7 n=5

 

第1轮        第2轮        第3轮        第4轮           最后一轮(第五轮)
0123401    0123012    0120120    0101010    0000000      (编号)
0123401    2340234    0230230    2323232    3333333      (对应编号的值)

最后一轮结果值3，其实是第四轮（倒数第二轮）结果为3对应的编号1；

第四轮编号为1所对应的值3，其实是第三轮结果为3对应的编号2；

第三轮编号为2所对应的值3，其实是第二轮结果为3对应的编号1

第二轮编号为1所对应的值3，其实是第一轮结果为3对应的编号3

我们不妨把第2轮，第3轮，第4轮对应的编号写出：
第二轮：          第三轮：         第四轮：         第五轮：
编号2——0      编号3——0     编号1——0     编号1——0
编号3——1      编号0——1     编号2——1
编号4——2      编号1——2
编号0——3

 

 值的逆推列表：

            最终结果                            第几轮

            3 == (1 + 7) % 5   ----------  4

            1 == (2 + 7) % 4   ----------- 3

            2 == (1 + 7) % 3   ----------  2

            1 == (0 + 7) % 2   -----------  1

 

数学归纳法得出公式 ：

 f[1] = 0 
 f[n] = (f[n-1]+m)%n (n >= 2)

 

 

说明：

如资料1所说的：

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

 

将n个人 转换成n-1个人 的具有唯一、相同解 ，n 转换成 n-1去除掉的是第一个排除的数。 如果知道 n-1的终解， 那么这个解当n时k~ k-1序列的对应的终解

 n-1转换成 n-2除掉的是第二个排除的数。依次类推。。。