单调递增子序列
来源:互联网 发布:经典评论 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 09:59
描述
给定一整型数列{a1,a2...,an}(0<n<=100000),找出单调递增最长子序列,并求出其长度。
如:1 9 10 5 11 2 13的最长单调递增子序列是1 9 10 11 13,长度为5。
输入
有多组测试数据(<=7) 每组测试数据的第一行是一个整数n表示序列中共有n个整数,随后的下一行里有n个整数,表示数列中的所有元素.每个整形数中间用空格间隔开(0<n<=100000)。 数据以EOF结束 。 输入数据保证合法(全为int型整数)!
输出
对于每组测试数据输出整形数列的最长递增子序列的长度,每个输出占一行。
样例输入
7
1 9 10 5 11 2 13
2
2 -1
样例输出
5
这是一个很好的题目。题目的算法还是比较容易看出来的,就是求最长上升子序列的长度。
不过这一题的数据规模最大可以达到40000,经典的O(n^2)的动态规划算法明显会超时。
我们需要寻找更好的方法来解决是最长上升子序列问题。
先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法,设A[i]表示序列中的第i个数,F[i]表示从1到i这一段
中以i结尾的最长上升子序列的长度,初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程:F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。
现在,我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y],满足
(1) x < y < i
(2) A[x] < A[y] < A[i]
(3) F[x] = F[y]
此时,选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值,那么,在最长上升子序列的这个位置中,
应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢?
很明显,选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2),在A[x+1] ... A[i-1]这一段中,
如果存在A[z],A[x] < A[z] < a[y],则与选择A[y]相比,将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3),我们会得到一个启示:根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k,
我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。设D[k]记录这个值,
即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。
注意到D[]的两个特点:
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
(2) D[]的值是有序的,即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
利用D[],我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的
最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D[len]。若A[i] > D[len],
则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1, D[len] = A[i];
否则,在D[1]..D[len]中,找到最大的j,满足D[j] < A[i]。令k = j + 1,则有D[j] < A[i] <= D[k],
将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列,同时更新D[k] = A[i]。
最后,len即为所要求的最长上升子序列的长度。
在上述算法中,若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找,由于共有O(n)个元素需要计算,
每次计算时的复杂度是O(n),则整个算法的时间复杂度为O(n^2),与原来的算法相比没有任何进步。
但是由于D[]的特点(2),我们在D[]中查找时,可以使用二分查找高效地完成,则整个算法的时间复杂度
下降为O(nlogn),有了非常显著的提高。需要注意的是,D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的
最长上升子序列!
这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题,整个算法的难点在于二分查找的设计,需要非常小心注意。
给定一整型数列{a1,a2...,an}(0<n<=100000),找出单调递增最长子序列,并求出其长度。
如:1 9 10 5 11 2 13的最长单调递增子序列是1 9 10 11 13,长度为5。
输入
有多组测试数据(<=7) 每组测试数据的第一行是一个整数n表示序列中共有n个整数,随后的下一行里有n个整数,表示数列中的所有元素.每个整形数中间用空格间隔开(0<n<=100000)。 数据以EOF结束 。 输入数据保证合法(全为int型整数)!
输出
对于每组测试数据输出整形数列的最长递增子序列的长度,每个输出占一行。
样例输入
7
1 9 10 5 11 2 13
2
2 -1
样例输出
5
1
/* 代码一: 经典求法---TLE*/#include <iostream>#include <cstdio>const int N = 100000 + 10; using namespace std; int a[N], dp[N];int main(){ int n, maxlen; while(scanf("%d", &n) != EOF) { maxlen = 0; for(int i = 0; i < n; ++i) { scanf("%d", &a[i]); dp[i] = 1; for(int j = 0; j < i; ++j) { if(a[j] < a[i] && dp[j] + 1 > dp[i]) dp[i] = dp[j] + 1; if(maxlen < dp[i]) maxlen = dp[i]; } } printf("%d\n", maxlen); } return 0;}代码二:
这是一个很好的题目。题目的算法还是比较容易看出来的,就是求最长上升子序列的长度。
不过这一题的数据规模最大可以达到40000,经典的O(n^2)的动态规划算法明显会超时。
我们需要寻找更好的方法来解决是最长上升子序列问题。
先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法,设A[i]表示序列中的第i个数,F[i]表示从1到i这一段
中以i结尾的最长上升子序列的长度,初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程:F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。
现在,我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y],满足
(1) x < y < i
(2) A[x] < A[y] < A[i]
(3) F[x] = F[y]
此时,选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值,那么,在最长上升子序列的这个位置中,
应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢?
很明显,选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2),在A[x+1] ... A[i-1]这一段中,
如果存在A[z],A[x] < A[z] < a[y],则与选择A[y]相比,将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3),我们会得到一个启示:根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k,
我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。设D[k]记录这个值,
即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。
注意到D[]的两个特点:
(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
(2) D[]的值是有序的,即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
利用D[],我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的
最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D[len]。若A[i] > D[len],
则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1, D[len] = A[i];
否则,在D[1]..D[len]中,找到最大的j,满足D[j] < A[i]。令k = j + 1,则有D[j] < A[i] <= D[k],
将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列,同时更新D[k] = A[i]。
最后,len即为所要求的最长上升子序列的长度。
在上述算法中,若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找,由于共有O(n)个元素需要计算,
每次计算时的复杂度是O(n),则整个算法的时间复杂度为O(n^2),与原来的算法相比没有任何进步。
但是由于D[]的特点(2),我们在D[]中查找时,可以使用二分查找高效地完成,则整个算法的时间复杂度
下降为O(nlogn),有了非常显著的提高。需要注意的是,D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的
最长上升子序列!
这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题,整个算法的难点在于二分查找的设计,需要非常小心注意。
#include <iostream>#include <cstdio>const int N = 100000 + 10; using namespace std; int a[N], dp[N]; int binarysearch(int k, int len){ int right = len; int left = 1; int mid = (right + left) >> 1; while(left <= right) { if(k == dp[mid]) return mid; if(k > dp[mid]) left = mid + 1; else right = mid - 1; mid = (right + left) >> 1; } return left;} int main(){ int n; while(~scanf("%d", &n)) { int len, t; for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]); len = 1; dp[1] = a[0]; for(int i = 1; i < n; ++i) { t = binarysearch(a[i], len); if(t>=len) { len=t; dp[t]=a[i]; } } printf("%d\n", len); } return 0;}转载:http://www.cnblogs.com/dongsheng/archive/2013/01/25/2876323.html
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