二维子数组之和的最大值

我们在前面分析了一维数组的子数组之和最大值的问题(详情请见博客：子数组之和的最大值),以及它的一些扩展问题(详情请见博客:最大子数组和的扩展问题),那么如果是二维数组又该如何求呢？？？

解法一：

最直接的方法当然是直接枚举每一个矩形区域，然后再求这个矩形区域中元素的和。

#include<cstdio>#include<cstdlib>#define MAX 1005#define INF 0x0FFFFFFFusing namespace std;int matrix[MAX][MAX];int PS[MAX][MAX];void GetPartSum(int n,int m,int PS[MAX][MAX]){int i,j;for(i=0;i<=n;i++)PS[i][0]=0;for(j=0;j<=m;j++)PS[0][j]=0;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)PS[i][j]=PS[i-1][j]+PS[i][j-1]-PS[i-1][j-1]+matrix[i][j];}int GetSubSum(int i_min,int i_max,int j_min,int j_max){int sum=PS[i_max][j_max]-PS[i_min-1][j_max]-PS[i_max][j_min-1]+PS[i_min-1][j_min-1];return sum;}int MaxSum(int n,int m){int i_min,i_max;int j_min,j_max;int maxsum=-INF;GetPartSum(n,m,PS);for(i_min=1;i_min<=n;i_min++){for(i_max=1;i_max<=n;i_max++){for(j_min=1;j_min<=m;j_min++){for(j_max=1;j_max<=m;j_max++){int sum=GetSubSum(i_min,i_max,j_min,j_max);if(sum>maxsum)maxsum=sum;}}}}return maxsum;}int main(int argc,char *argv[]){int n,m;int i,j;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&matrix[i][j]);int ans=MaxSum(n,m);printf("%d\n",ans);}return 0;}

采用这种方法的时间复杂度为O(N^2*M^2);其实我们在这里是做了一些预处理的，考虑到区域的和需要频繁的计算，我们进行一遍预处理，并把计算结果保存下来，以达到空间换时间的目的。即通过部分和的O(N*M)的预处理，可以在O(1)的时间内计算出任意区域的和；

在二维情况下，定义“部分和”P[i][j]等于以（1,1），（i,1），（1,j），（i,j）为顶点的矩形区域的元素之和。
通过画图可以看出，以（i_min,j_min）,(i_min,j_max),(i_max,j_min),(i_max,j_max)为顶点的矩形区域的元素之和
GetSubSum=PS[i_max][j_max]-PS[i_min-1][j_max]-PS[i_max][j_min-1]+PS[i_min-1][j_min-1],也就是在已知“部分和”的基础
上可以用O(1)时间算出任意矩阵区域的元素之和。

不难看出，在更小的“部分和”的基础上，也能以O(1)时间得到新的“部分和”。
PS[i][j]=PS[i-1][j]+PS[i][j-1]-PS[i-1][j-1]+B[i][j] 

O(N*M)的时间就足够预处理并得到所有部分和。
综上所述，我们得到了一个O(N^2 * M^2)的解法。

解法二：

我们发现一维的解答可以线性完成。如果我们能将二维问题转换为一维问题，或许可以改进一下。

可以把每一列中第a行和第c行之间的元素看出一个整体。即求数组（BC(1),BC(2),...,BC(M)）中的最大的一段，其中BC[i]=B[a][i]+...+B[c][i]我们枚举矩形上下边界，然后再用一维情况下的方法确定左右边界，就可以得到二维问题的解。然后再采用方法一的预处理步骤，那么时间复杂度可以降为为O(N* M*min(N,M));

#include<cstdio>#include<cstdlib>#define MAX 1005#define INF 0x0FFFFFFFusing namespace std;int matrix[MAX][MAX];int PS[MAX][MAX];void GetPartSum(int n,int m,int PS[MAX][MAX]){int i,j;for(i=0;i<=n;i++)PS[i][0]=0;for(j=0;j<=m;j++)PS[0][j]=0;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)PS[i][j]=PS[i-1][j]+PS[i][j-1]-PS[i-1][j-1]+matrix[i][j];}int ColumnSum(int a,int c,int i){int sum=PS[c][i]-PS[a-1][i]-PS[c][i-1]+PS[a-1][i-1];return sum;}int MaxSum(int n,int m){int i,j,k;int maxsum=-INF;int start,all;GetPartSum(n,m,PS);for(i=1;i<=n;i++){for(j=i;j<=n;j++){start=ColumnSum(i,j,m);all=ColumnSum(i,j,m);for(k=m-1;k>=0;k--){if(start<0)start=0;start+=ColumnSum(i,j,k);if(start>all)all=start;}if(all>maxsum)maxsum=all;}}return maxsum;}int main(int argc,char *argv[]){int n,m;int i,j;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&matrix[i][j]);int ans=MaxSum(n,m);printf("%d\n",ans);}return 0;}