子数组之和最大值(二维数组)

我们在前面分析了一维数组的子数组之和最大值的问题，那么如果是二维数组又该如何分析呢？

最直接的方法，当然就是枚举每一个矩形区域，然后再求这个矩形区域中元素的和。

解法一：枚举

　　采用这种方法的时间复杂度为O(N²*M²*sum的时间复杂度)。

　　对于部分和sum，可以作一个预处理，设p[i][j]表示从arr[0][0]加到arr[i][j]的和；

　　则从arr[i1][j1]加到arr[i2][j2]的和为：

　　sum(arr, i1, i2, j1, j2) = p[i2][j2] + p[i1-1][j1-1] - p[i1-1][j2] - p[i2-1][j1]

　　这个预处理的时间复杂度为O(NM)，算法时间复杂度为O(N²*M²)。

方法二：动态规划

　　假设已经确定了矩形区域的上下边界，比如知道矩形区域的上下边界分别是第a行和第c行，现在要确定左右边界。

　　其实这个问题就是一维的，可以把每一列中第a行和第c行之间的元素看成一个整体。即求数组(BC[1], ..., BC[M])中和最大的一段，其中BC[i]=B[a][i] + ... + B[c][i]。

　　这样，我们枚举矩形的上下边界，然后再用一维情况下的方法确定左右边界，就可以得到二维问题的解。新的方法的时间复杂度为O(N*M*min(N, M))。

public class Array_2 {public static void main(String[] args){int[][] h={{1,2,3},{4,-5,6},{7,8,9}};System.out.println(Maxsum_2(h));}public static int Maxsum_2(int[][] arr){int maxumum=Integer.MIN_VALUE;for(int i=0;i<arr.length;i++){for(int j=i;j<arr.length;j++){//System.out.print("i="+i+"j="+j+" ");int sum=0;int[] n = new int[arr[0].length];for(int w=0;w<arr[0].length;w++){sum=0;for(int k=i;k<=j;k++){sum = sum+arr[k][w];}n[w]=sum;//System.out.print(w+" "+n[w]+" ");}if(Maxsum_ultimate(n)>maxumum)maxumum =Maxsum_ultimate(n);}}return maxumum;}public static int Maxsum_ultimate(int[] arr)//一维数组子数组最大计算公式，O(N).{int maxSum = Integer.MIN_VALUE;int sum = 0;for(int i = 0; i < arr.length; ++i){if(sum < 0){sum = arr[i];}else{sum += arr[i];}if(sum > maxSum){maxSum = sum;}}return maxSum;}}

结果如下：

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