《算法导论》笔记 第24章 24.1 单源最短路径

【笔记】

单元最短路径的变体

单终点最短路径问题

单对顶点最短路径问题

每对顶点间最短路径问题

最短路径的最优子结构

负权值边

回路

最短路径不能包含负权回路，不包含正权回路。

最短路径的表示

已知图G，对每个顶点v∈V，设置其前驱顶点π[v]为另一顶点或NIL。

松弛技术

对每个顶点v∈V，都设置一个属性d[v]，用来描述从源点s到v的最短路径上权值的上界，称为最短路径估计。

最短路径以及松弛的性质

三角不等式

对任意边(u,v)∈E，有δ(s,v)<=δ(s,u)+w(u,v)

上界性质

对任意顶点v∈V，有d[v]>=δ(s,v)，而且一旦d[v]达到δ(s,v)值就不再改变

无路径性质

如果从s到v不存在路径，则总是有d[v]=δ(s,v)=OO

收敛性质

如果s~>u->v是图G某u，v∈V的最短路径，而且在松弛边(u,v)之前的任何时间d[u]=δ(s,u)，则在操作过候总有d[v]=δ(s,v)

前驱子图性质

一旦对于所有v∈V，d[v]=δ(s,v)，前驱子图就是一个以s为根的最短路径树。

Bellman-Ford 算法能在一般情况（存在负权边的情况）下，解决单源最短路径问题。

【练习】

24.1-1 对图示有向图运行Bellman-Ford算法。

略

24.1-2 证明推论。

略

24.1-3 m为所有从u到v的最短路径上边数最小值中的最大值，对Bellman-Ford算法做简单的修改，在m+1趟后终止。

24.1-4 对Bellman-Ford算法进行修改，对任意顶点v，当从源点到v的某些路径上存在一个负权回路，则置d[v]为-OO。

*24.1-5 

*24.1-6 找出负权回路上顶点。

Bellman-Ford 算法能在一般情况（存在负权边的情况）下，解决单源最短路径问题。

【练习】

24.1-1 对图示有向图运行Bellman-Ford算法。

略

24.1-2 证明推论。

略

24.1-3 m为所有从u到v的最短路径上边数最小值中的最大值，对Bellman-Ford算法做简单的修改，在m+1趟后终止。

24.1-4 对Bellman-Ford算法进行修改，对任意顶点v，当从源点到v的某些路径上存在一个负权回路，则置d[v]为-OO。

*24.1-5 

*24.1-6 找出负权回路上顶点。