算法导论 | 第24章 单源最短路径

零、基础

1、单源最短路径问题：给定一个图，找到从给定源结点s，到每一个结点v的最短路径。

2、可以在这个问题上进行扩展：

①单目的地最短路径问题：找到从每个结点v到目的地t的最短路径。----将图的每个边的方向翻转，求解单源最短路径问题（这里必须要通过翻转边的方向，才能有下一步的遍历，不能简单的看从t到v的最短路径！）

②单节点对最短路径问题：找到指定结点u到指定结点v的最短路径。

③所有结点对最短路径问题：对于每一对u和v，找到从u到v的最短路径。虽然可以将每一个结点都运行一遍单源最短路径算法，但效率低；在25章中讨论更快的算法。

④最短路径的最优子结构：最短路径算法依赖于一个重要性质----两个节点之间的一条最短路径包含着其他的最短路径。

3、最短路径表示

我们不但希望计算出最短路径的长度，还需要计算最短路径上的结点。那么可以参考广度优先搜索树那样，定义一个v.p指向前驱结点的指针。当我们通过算法遍历过后，就能通过v.p来得到想要的路径。

4、松弛操作

松弛操作：对每个顶点v∈V，都设置一个属性d[v]，用来描述从源点 s 到 v 的最短路径上权值的上界，成为最短路径估计(Shortest-path Estimate)，同时π[v]代表前趋。

初始化

INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)1  for each vertex v ∈ V[G]2       do d[v] ← ∞3          π[v] ← NIL4  d[s] ← 0

松弛过程：当增加边(u,v)时，测试从s到v的最短路径改善。也就是比较s->v 和 s->u + s->v两者，取最小值来更新v.d信息。并且也要更新父节点指针，代码如下

RELAX(u, v, w)1  if d[v] > d[u] + w(u, v)2     then d[v] ← d[u] + w(u, v)3          π[v] ← u

一、Bellman-Ford算法

1、算法原理

（1）Bellman-Ford算法能在一般情况下（存在负权边的情况）下，解决单源最短路径问题。

（2）对于给定的带权有向图 G = (V, E)，其源点为 s，加权函数为 w：E → R，对该图运行 Bellman-Ford 算法后可以返回一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点可达的权为负的回路。若存在这样的回路，问题无解；否则，算法产生最短路径及其权值。

（3） Bellman-Ford算法运用松弛技术，对每个顶点 v，逐步减小从源 s 到 v 的最短路径的权的估计值 d[v] 直至其可达到实际最短路径的权 δ(s, v) 。算法返回布尔值True，当且仅当图中不包含从源点可达的负权回路

2、算法实现

BELLMAN-FORD(G, w, s)1  INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)2  for i ← 1 to |V[G]| – 13       do for each edge (u, v) ∈ E[G]4              do RELAX(u, v, w)5  for each edge (u, v) ∈ E[G]6       do if d[v] > d[u] + w(u, v)7             then return FALSE8  return TRUE

说明：

（1）该算法不是选定一个点，然后再遍历这个点发出的边，这里将边排列一定的顺序，然后按照边来遍历。

正如上图中按照(t，x)，(t，y)，(t，z)，(x，t)，(y，x)，(y，z)，(z，x)，(z，s)，(s，t)，(s，y)顺序进行。

（2）最后通过d[v] > d[u] + w(u, v)来检查，因为通过v-1次遍历，已经得到了最短路径，如果还存在这种关系，证明存在负值回路。

（3）整个遍历过程进行v-1次。

考虑：为什么要循环V-1次？
答：因为最短路径肯定是个简单路径，不可能包含回路的，
如果包含回路，且回路的权值和为正的，那么去掉这个回路，可以得到更短的路径
如果回路的权值是负的，那么肯定没有解了

图有n个点，又不能有回路
所以最短路径最多n-1边

又因为每次循环，至少relax一边
所以最多n-1次就行了

3、时间复杂度

Bellman-Ford虽然很简单，但是复杂度太高，达到了O(VE)，从上边图示中可以看出：(a) t，x，y，z 边的松弛是无用操作；(b) s，x，z 边的松弛是无用操作；(c) s，t，y边的松弛是无用操作；(d) s，x，y，z边的松弛是无用操作。也就是说，只有更新过的点所做的松弛才是有效操作，所以出现了更高效的算法，即SPFA：http://mindlee.net/2011/11/18/shortest-paths-algorithm/

二、有向无环图中的单源最短路径问题

1、算法原理

（1）根据拓扑排序对有向无环图进行松弛操作。可以得到时间复杂度为O(v+e)的算法。

（2）允许有负值的边，但不允许有回路。

2、算法实现

（1）先通过拓扑排序对图进行排序

（2）然后按照拓扑排序产生的顺序，依次遍历每个结点的出射边。并进行松弛。

（3）得到想要结果。

3、时间复杂度

时间复杂度为O(V+E)

三、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法

基本思想

     通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

     此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

     初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。

操作步骤

(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。

(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。

(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。

说白了，就是选取一个点S，然后更新与其相连的结点的v.d值；再选取v.d值最小的结点，再更新与其相连的v.d的值...最后得到想要的结果。当然也要维护v.p的信息！

算法图解

以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。

初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！
第1步：将顶点D加入到S中。
    此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。     注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

第2步：将顶点C加入到S中。
    上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
    此时，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步：将顶点E加入到S中。
    上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
    此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。

第4步：将顶点F加入到S中。
    此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：将顶点G加入到S中。
    此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步：将顶点B加入到S中。
    此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步：将顶点A加入到S中。
    此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

四、性能分析

1、Bellman-Ford算法

该算法在任何情况下都能用，即使包含负值回路，该算法也能“报错”。实现简单，但事件复杂度较高，达到O(VE)。

2、有向无环图中的单源最短路径问题

该算法利用拓扑排序，必须要求图中无环，不过图中可以存在权值为负数的边。时间复杂度为O(V+E).

3、迪杰斯特拉(Dijkstra)算法

要求最高，所有的权值必须非负数。但时间复杂度较低，效果较好。

该算法执行三种优先队列来维持最小优先队列。

（1）通过利用结点的编号1~|V|来维持最小优先队列（通过在数组中遍历查找最小值），时间复杂度为O(V^2)。

（2）如果是稀疏图，可以利用二叉堆来实现----- O((V+E)lgV)

（3）使用斐波那契堆来实现，可以改善到O(VlgV + E)