2-sat问题，输出方案，几种方法（赵爽的论文染色解法+其完全改进版）浅析 / POJ3683
来源：互联网 发布：怎么用阿里云搭建网站 编辑：程序博客网 时间：2024/05/22 00:11
本文原创于 2014-02-12 09:26。 今复习之用，有新体会，故重新编辑。
2014-02-12 09:26：
2-sat之第二斩！昨天看了半天论文（赵爽的和俉昱的），终于看明白了！好激动有木有！终于理解了赵爽的每一句话！并且用了200+行代码实现，A了！具体过程我是敲了帮天的代码啊！！！不容易啊！步骤如下：
把相关问题编号为01 23 45....，（每个编号为一个命题）奇数为取，偶数不取，那么相邻俩个互逆，于是根据具体情况（check）一下,建立图，tarjan判断有无解，然后顺便再缩点，重新建图（逆图），在对新图拓扑，仔细阅读下面赵爽的话：理解每一句：
如果没有产生矛盾，我们就可以把处在同一个强连通分量中的点和边缩成一个点，得到
新的有向图G。然后，我们把G中的所有弧反向，得到图G ′ ′ ′′。
现在我们观察 。由于已经进行了缩点的操作，因此 G′′ G′′中一定不存在圈，也就是说，
具有拓扑结构。 G′′
我们把G中所有顶点置为“未着色”。按照拓扑顺序重复下面的操作： ′′ 是啊，先对新图（逆的）拓扑，保存起来，然后开始染色，对每个染成“不选”的还要对其子孙也不选 择，（再次dfs。。。无奈），废了半天啊！！！！下面第一段代码便是！！
1、 选择第一个未着色的顶点x。把x染成红色。
2、 把所有与x矛盾的顶点 （如果存在bb yjjB ¬ ∈ ，且b属于 j
x代表的强连
通分量， j
b ¬ 属于 代表的强连通分量，那么 y x和 就是互相矛盾的顶点）
及其子孙全部全部染成蓝色。
y
3、 重复操作1和2，直到不存在未着色的点为止。此时，G′′中被染成红色的
点在图G中对应的顶点集合，就对应着该2-SAT的一组解。
后来在大牛交流中，发现无需拓扑啊！白痴啊！尽在眼前还去自己写什么？？！！了解到：每个强连通分量都是在它的所有后继强连通分量被求出之后求得的。因此，如果将同一强连通分量收缩为一个结点而构成一个有向无环图，这些强连通分量被求出的顺序是这一新图的逆拓扑序！！！！
不用再次新图拓扑啊！！！何必多此一举！于是来了第二个代码！！
还没完？？？的确，染色？大牛证明了（现在证明看来也很容易的），无须如此！直接tarjan即可！详见代码三！！又简单了许多啊！从此，2-sat输出方案，哦？不用怕！！！！so easy!
继续刷几题，练练新剑！
今//三种代码：一次比一次简单，第一次完全按论文进行模拟的，比较繁琐，但是思路清晰，包括俩次建图+拓扑+染色+tarjan+dfs,
建图是关键，每次添加的边要互为假言易位式（一对），最后一种方法最妙，以后都用这样的方法，简单又快捷；
该题题意：某一天结婚的人特别多但是主持婚礼的神父只有一个。婚礼时间从s开始到e结束，神父必须在s到s+d或者e-d到e这段时间内在。给定了n个婚礼的s，e，d，求一种方案能使得神父主持所有的婚礼。
思路：建图简单，数据处理一下，按编号保存，之后：遍历点，取矛盾的点添加假言易位边，缩点（同一个SCC中必然可以互推）来判断有无解，输出方案的话，只需新图（不必真的建）,每次取逆拓扑小的（scc[i]小的命题即可）（反证即可）。
#include<iostream> //5340K360MS#include<cstdio>#include<cstring>#include<vector>#include<stack>#include<cmath>using namespace std;int n;const int MAX=2001;struct points //点，01,23,45.。。相连为一对，x^1取对应点（改变奇偶性）{ int from,end;};points point[MAX];int low[MAX];int dfn[MAX];int visited[MAX];bool is_instack[MAX];stack<int>s;int times=0; int scc[MAX]; int numblock;int indgree[MAX]; int tuopoxuliu[MAX]; int color[MAX]; //入度，tuopo序列，染色vector<int>ans(MAX); //最终答案vector<vector<int> >edges(MAX); //原图vector<vector<int> >newgraph(MAX); //新图vector<vector<int> >SCC(MAX); //保存SCC【i】含有的点void initialize(){ numblock=times=0; for(int i=0;i<2*n;i++) { tuopoxuliu[i]=color[i]=visited[i]=low[i]=dfn[i]=is_instack[i]=0; edges[i].clear(); scc[i]=-1; }}void tarjan(int u) //有向图dfs，这个不解释{ low[u]=dfn[u]=++times; is_instack[u]=1; s.push(u); int len=edges[u].size(); for(int i=0;i<len;i++) { int v=edges[u][i]; if(visited[v]==0) { visited[v]=1; tarjan(v); if(low[u]>low[v])low[u]=low[v]; } else if(is_instack[v]&&dfn[v]<low[u]) { low[u]=dfn[v]; } } if(dfn[u]==low[u]) { numblock++; int cur; do { cur=s.top(); is_instack[cur]=0; s.pop(); scc[cur]=numblock; SCC[numblock].push_back(cur); //每个SCC对应哪些点保存起来 }while(cur!=u); }}bool agst(points a,points b) //判断矛盾的点{ if(a.from<=b.from&&a.end>b.from) //注意==号的判定！别因为这个跪了！ return true; if(b.from<=a.from&&b.end>a.from) return true; return false;}bool build_graph_has_solution() //建图{ initialize(); for(int i=0;i<2*n;i++) for(int j=i+1;j<2*n;j++) { if(((i>>1)!=(j>>1))&&agst(point[i],point[j])) //有时间冲突 { if(agst(point[i],point[j^1])) //和另一个也矛盾，那么i不能选(用A->非A表示) edges[i].push_back(i^1); else { edges[i].push_back(j^1); //那么选你没我 edges[j].push_back(i^1); } } } for(int i=0;i<2*n;i++) { if(visited[i]==0) { visited[i]=1; tarjan(i); } } for(int i=0;i<2*n;i+=2) { if(scc[i]==scc[i+1]) //矛盾的点在一个SCC中， { printf("NO\n"); return false; } } return true;}void tuopu() //新图拓扑，记录拓扑序列（1-numblock）保存之{ stack<int>sta; int count=1; for(int i=1;i<=numblock;i++) //入度点0点 if(indgree[i]==0) sta.push(i); while(!sta.empty()) { int cur=sta.top(); sta.pop(); tuopoxuliu[count++]=cur; int len4=newgraph[cur].size(); //新图，其孩子入度-- for(int i=0;i<len4;i++) { indgree[newgraph[cur][i]]--; if(indgree[newgraph[cur][i]]==0) sta.push(newgraph[cur][i]); } }}void dfs_unchoose(int u) //u及其子孙都不选{ int len5=newgraph[u].size(); for(int i=0;i<len5;i++) { int v=newgraph[u][i]; if(color[v]!=2) { color[v]=2; dfs_unchoose(v); } }}void solve(){ for(int i=0;i<2*n;i++) //建立新图（逆图，有向无环） { int len=edges[i].size(); for(int j=0;j<len;j++) { int v=edges[i][j]; bool mark=0; if(scc[i]!=scc[v]) //是新图的边 //注意下面哪些是SCC[] { int len2=newgraph[scc[v]].size(); //删去新图重边（要判断入度） for(int k=0;k<len2;k++) { if(newgraph[scc[v]][k]==scc[i]){mark=1;break;} } if(mark)continue; newgraph[scc[v]].push_back(scc[i]); //逆图 indgree[scc[i]]++; } } } tuopu(); for(int i=1;i<=numblock;i++) //开始染色， { int cur=tuopoxuliu[i]; if(color[cur]==0) //0未染色 { color[cur]=1; //标记选择 int len3=SCC[cur].size(); //SCC中， for(int j=0;j<len3;j++) { color[scc[SCC[cur][j]^1]]=2; //这些点矛盾的点所在的SCC标记为2（不选）. dfs_unchoose(scc[((SCC[cur][j])^1)]); //其子孙也不选 } } } //染色完毕 for(int i=1;i<=numblock;i++) //统计ans { if(color[i]==1) //在同一个SCC中全要 { int len6=SCC[i].size(); for(int j=0;j<len6;j++) { ans[SCC[i][j]/2]=SCC[i][j]; } } } printf("YES\n"); for(int i=0;i<n;i++) { int hour=point[ans[i]].from/60;int miu=point[ans[i]].from%60; printf("%02d:%02d ",hour,miu); hour=point[ans[i]].end/60; miu=point[ans[i]].end%60; printf("%02d:%02d\n",hour,miu); }}void readin(){ for(int i=0;i<n;i++) { int a1,b1,a2,b2,d;char c; scanf("%d%c%d",&a1,&c,&b1); scanf("%d%c%d",&a2,&c,&b2); scanf("%d",&d); point[i*2].from=a1*60+b1; point[i*2].end=a1*60+b1+d; point[i*2+1].from=a2*60+b2-d; point[i*2+1].end=a2*60+b2; }}int main(){ scanf("%d",&n); readin(); if( build_graph_has_solution()) solve();}.
#include<cstdio>#include<cstring>#include<vector>#include<stack>#include<cmath>using namespace std;int n;const int MAX=2001;struct points //点，01,23,45.。。相连为一对，x^1取对应点（改变奇偶性）{ int from,end;};points point[MAX];int low[MAX];int dfn[MAX];int visited[MAX];bool is_instack[MAX];stack<int>s;int times=0; int scc[MAX]; int numblock; int color[MAX]; //染色vector<int>ans(MAX); //最终答案vector<vector<int> >edges(MAX); //原图vector<vector<int> >newgraph(MAX); //新图vector<vector<int> >SCC(MAX); //保存SCC【i】含有的点void initialize(){ numblock=times=0; for(int i=0;i<2*n;i++) { color[i]=visited[i]=low[i]=dfn[i]=is_instack[i]=0; edges[i].clear(); scc[i]=-1; }}void tarjan(int u) //有向图dfs，这个不解释{ low[u]=dfn[u]=++times; is_instack[u]=1; s.push(u); int len=edges[u].size(); for(int i=0;i<len;i++) { int v=edges[u][i]; if(visited[v]==0) { visited[v]=1; tarjan(v); if(low[u]>low[v])low[u]=low[v]; } else if(is_instack[v]&&dfn[v]<low[u]) { low[u]=dfn[v]; } } if(dfn[u]==low[u]) { numblock++; int cur; do { cur=s.top(); is_instack[cur]=0; s.pop(); scc[cur]=numblock; SCC[numblock].push_back(cur); //每个SCC对应哪些点保存起来 }while(cur!=u); }}bool agst(points a,points b) //判断矛盾的点{ if(a.from<=b.from&&a.end>b.from) //注意==号的判定！别因为这个跪了！ return true; if(b.from<=a.from&&b.end>a.from) return true; return false;}bool build_graph_has_solution() //建图{ initialize(); for(int i=0;i<2*n;i++) for(int j=i+1;j<2*n;j++) { if(((i>>1)!=(j>>1))&&agst(point[i],point[j])) //有时间冲突 { if(agst(point[i],point[j^1])) //和另一个也矛盾，那么i不能选(用A->非A表示) edges[i].push_back(i^1); else { edges[i].push_back(j^1); //那么选你没我 edges[j].push_back(i^1); } } } for(int i=0;i<2*n;i++) { if(visited[i]==0) { visited[i]=1; tarjan(i); } } for(int i=0;i<2*n;i+=2) { if(scc[i]==scc[i+1]) //矛盾的点在一个SCC中， { printf("NO\n"); return false; } } return true;}void dfs_unchoose(int u) //u及其子孙都不选{ int len5=newgraph[u].size(); for(int i=0;i<len5;i++) { int v=newgraph[u][i]; if(color[v]!=2) { color[v]=2; dfs_unchoose(v); } }}void solve(){ for(int i=0;i<2*n;i++) //建立新图（逆图，有向无环） { int len=edges[i].size(); for(int j=0;j<len;j++) { int v=edges[i][j]; bool mark=0; if(scc[i]!=scc[v]) //是新图的边 //注意下面哪些是SCC[] { int len2=newgraph[scc[v]].size(); //删去新图重边（要判断入度） for(int k=0;k<len2;k++) { if(newgraph[scc[v]][k]==scc[i]){mark=1;break;} } if(mark)continue; newgraph[scc[v]].push_back(scc[i]); //逆图 } } } for(int i=1;i<=numblock;i++) //开始染色， { int cur=i; if(color[cur]==0) //0未染色 { color[cur]=1; //标记选择 int len3=SCC[cur].size(); //SCC中， for(int j=0;j<len3;j++) { color[scc[SCC[cur][j]^1]]=2; //这些点矛盾的点所在的SCC标记为2（不选）. dfs_unchoose(scc[((SCC[cur][j])^1)]); //其子孙也不选 } } } //染色完毕 for(int i=1;i<=numblock;i++) //统计ans { cout<<i<<": "<<endl; int len6=SCC[i].size(); for(int j=0;j<len6;j++) { cout<<SCC[i][j]<<" "; cout<<endl; if(color[i]==1) //在同一个SCC中全要 { cout<<"get:";cout<<SCC[i][j]<<endl; ans[SCC[i][j]/2]=SCC[i][j]; } } } printf("YES\n"); for(int i=0;i<n;i++) { int hour=point[ans[i]].from/60;int miu=point[ans[i]].from%60; printf("%02d:%02d ",hour,miu); hour=point[ans[i]].end/60; miu=point[ans[i]].end%60; printf("%02d:%02d\n",hour,miu); }}void readin(){ for(int i=0;i<n;i++) { int a1,b1,a2,b2,d;char c; scanf("%d%c%d",&a1,&c,&b1); scanf("%d%c%d",&a2,&c,&b2); scanf("%d",&d); point[i*2].from=a1*60+b1; point[i*2].end=a1*60+b1+d; point[i*2+1].from=a2*60+b2-d; point[i*2+1].end=a2*60+b2; }}int main(){ scanf("%d",&n); readin(); if( build_graph_has_solution()) solve();}#include<iostream> //无需自己拓扑！无需染色！无需重新建图！屌！以后不用怕了！直接秒杀！#include<cstdio>#include<cstring>#include<vector>#include<stack>#include<cmath>using namespace std;int n;const int MAX=2001;struct points //点，01,23,45.。。相连为一对，x^1取对应点（改变奇偶性）{ int from,end;};points point[MAX];int low[MAX];int dfn[MAX];int visited[MAX];bool is_instack[MAX];stack<int>s;int times=0; int scc[MAX]; int numblock;vector<int>ans(MAX); //最终答案vector<vector<int> >edges(MAX); //原图void initialize(){ numblock=times=0; for(int i=0;i<2*n;i++) { visited[i]=low[i]=dfn[i]=is_instack[i]=0; edges[i].clear(); scc[i]=-1; }}void tarjan(int u) //有向图dfs，这个不解释{ low[u]=dfn[u]=++times; is_instack[u]=1; s.push(u); int len=edges[u].size(); for(int i=0;i<len;i++) { int v=edges[u][i]; if(visited[v]==0) { visited[v]=1; tarjan(v); if(low[u]>low[v])low[u]=low[v]; } else if(is_instack[v]&&dfn[v]<low[u]) { low[u]=dfn[v]; } } if(dfn[u]==low[u]) { int cur; numblock++; do { cur=s.top(); is_instack[cur]=0; s.pop(); scc[cur]=numblock; }while(cur!=u); }}bool agst(points a,points b) //判断矛盾的点{ if(a.from<=b.from&&a.end>b.from) //注意==号的判定！别因为这个跪了！ return true; if(b.from<=a.from&&b.end>a.from) return true; return false;}bool build_graph_has_solution() //建图{ initialize(); for(int i=0;i<2*n;i++) for(int j=i+1;j<2*n;j++) { if(((i>>1)!=(j>>1))&&agst(point[i],point[j])) //有时间冲突 { if(agst(point[i],point[j^1])) //和另一个也矛盾，那么i不能选(用A->非A表示) edges[i].push_back(i^1); else { edges[i].push_back(j^1); //那么选你没我 edges[j].push_back(i^1); } } } for(int i=0;i<2*n;i++) { if(visited[i]==0) { visited[i]=1; tarjan(i); } } for(int i=0;i<2*n;i+=2) { if(scc[i]==scc[i+1]) //矛盾的点在一个SCC中， { printf("NO\n"); return false; } } return true;}void solve(){ for(int i=0;i<2*n;i+=2) //统计ans { if(scc[i]<scc[i+1]) //关键！！这样选择！！ ans[i/2]=i; else ans[i/2]=i+1; } printf("YES\n"); for(int i=0;i<n;i++) //还原 { int hour=point[ans[i]].from/60;int miu=point[ans[i]].from%60; printf("%02d:%02d ",hour,miu); hour=point[ans[i]].end/60; miu=point[ans[i]].end%60; printf("%02d:%02d\n",hour,miu); }}void readin(){ for(int i=0;i<n;i++) { int a1,b1,a2,b2,d;char c; scanf("%d%c%d",&a1,&c,&b1); scanf("%d%c%d",&a2,&c,&b2); scanf("%d",&d); point[i*2].from=a1*60+b1; point[i*2].end=a1*60+b1+d; point[i*2+1].from=a2*60+b2-d; point[i*2+1].end=a2*60+b2; }}int main(){ scanf("%d",&n); readin(); if( build_graph_has_solution()) solve();} 2 0
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