2-SAT问题的解法（uva1146）

SAT：就是一些由布尔值组成的关系的集合。
2-SAT：就是由两个布尔值组成的关系的集合。
2-SAT问题：就是给出一些关系，然后问能不能满足这些所有的关系？
现在比如说有n个国家，每个国家有两个代表，必须选出一个代表参加一个国际会议，但是有些代表之间有矛盾，现在给出这些矛盾的代表，问能不能选出满足条件的。
4个国家，代表编号为2*i，2 *i-1
这些代表有矛盾1和4，2和3，7和3
这样的话肯定是能够满足条件的。
这篇论文讲的很清晰

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其中给出了两种解法，首先对于上面的例子，1和4有矛盾，很明显分别属于1和2国家，那么加入我要选1则必须选3，因为每个国家必须选一个，而1和4又是矛盾的！同样要选4必须选2，那么我可以给他们必选条件之间建一条有向边。
那么对于上面样例可以得到这样一个图

这样建图之后，能够得到一种很直观的解法。
枚举所有的同一个国家的代表（2*i 和 2 *i-1）首先任选一个，推导出相关的，若不矛盾，则可行，否则选另一个，若也不可行，则无解。
这个算法的时间负责度O（m*n），在大多数情况下是可行的。

其实可以更优，首先我们发现图中存在很多环，对环缩点是对原图情况没有影响的，同样，在同一个环中的点必然是要么都选，要么都不选，那么如果存在在一个换中有同一个国家的两个代表的话，这样肯定是不可行的。
那么就得到了一个基于对称性的算法，建图，缩点，缩在同一个环上的点判断是否是同一个国家，不在则无解。算法负责度O（m）

UVA1146这个题目是一个类似的题目，不过要求一个最大值，我们二分结果，然后用2-set判断是否可行。
Tarjan算法：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <vector>#include <algorithm>#include <stack>using namespace std;const int N = 2200;int tim[N][3],dfs_clock,tpnum;stack<int> sta;struct TwoSet{    vector<int> G[2*N];    bool vis[2*N];    int dfn[2*N],low[2*N],tp[2*N];    void init(int n)    {        for(int i=0;i<=2*n;i++)            G[i].clear();        dfs_clock = tpnum = 0;        memset(vis,false,sizeof(vis));        memset(dfn,0,sizeof(dfn));        memset(low,0,sizeof(low));        memset(tp,0,sizeof(tp));        while(!sta.empty())            sta.pop();    }    void add_Node(int x,int valx,int y,int valy)    {        x = 2*x + valx;        y = 2*y + valy;        G[x^1].push_back(y);        G[y^1].push_back(x);    }    void Tarjan(int x)    {        sta.push(x);        vis[x] = true;        dfn[x] = low[x] = ++dfs_clock;        for(int i=0;i<G[x].size();i++)        {            int y = G[x][i];            if(!dfn[y])            {                Tarjan(y);                low[x] = min(low[x],low[y]);            }            else            {                if(vis[y])                    low[x] = min(low[x],dfn[y]);            }        }        if(low[x] == dfn[x])        {            tpnum++;            do            {                x = sta.top();                sta.pop();                vis[x] = false;                tp[x] = tpnum;            }while(low[x] != dfn[x]);        }    }    bool yougth(int n)    {        for(int i=0;i<2*n;i++)            if(!dfn[i])                Tarjan(i);        for(int i=0;i<n;i++)            if(tp[2*i]==tp[2*i+1])                return false;        return true;    }};TwoSet solver;bool test(int diff,int n){    solver.init(n);    for(int i=0;i<n;i++)for(int a=0;a<2;a++)        for(int j=i+1;j<n;j++)for(int b=0;b<2;b++)            if(abs(tim[i][a]-tim[j][b])<diff)solver.add_Node(i,a^1,j,b^1);    return solver.yougth(n);}int main(){    //freopen("Input.txt","r",stdin);    int n;    while(~scanf("%d",&n))    {        int L = 0,R = 0;        for(int i=0;i<n;i++)        {            for(int t=0;t<2;t++)            {                scanf("%d",&tim[i][t]);                R = max(R,tim[i][t]);            }        }        while(L<R)        {            int mid=L+(R-L+1)/2;            if(test(mid,n))L=mid;            else R=mid-1;        }        printf("%d\n",L);    }    return 0;}

直接暴力判断算法：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <vector>#include <algorithm>using namespace std;const int N = 2200;int tim[N][3];struct TwoSet{    vector<int> G[2*N];    bool vis[2*N];    int s[2*N],c;    void init(int n)    {        for(int i=0;i<=2*n;i++)            G[i].clear();        memset(vis,false,sizeof(vis));    }    void add_Node(int x,int valx,int y,int valy)    {        x = 2*x + valx;        y = 2*y + valy;        G[x^1].push_back(y);        G[y^1].push_back(x);    }    bool dfs(int x)    {        if(vis[x^1])            return false;        if(vis[x])            return true;        vis[x] = true;        s[c++] = x;        for(int i=0;i<G[x].size();i++)        {            if(!dfs(G[x][i]))                return false;        }        return true;    }    bool yougth(int n)    {        for(int i = 0;i< 2*n;i+=2)        {            if(!vis[i] && !vis[i+1])            {                c = 0;                if(!dfs(i))                {                    while(c>0)                        vis[ s[--c] ] = false;                    if(!dfs(i+1))                        return false;                }            }        }        return true;    }};TwoSet solver;bool test(int diff,int n){    solver.init(n);    for(int i=0;i<n;i++)for(int a=0;a<2;a++)        for(int j=i+1;j<n;j++)for(int b=0;b<2;b++)            if(abs(tim[i][a]-tim[j][b])<diff)solver.add_Node(i,a^1,j,b^1);    return solver.yougth(n);}int main(){    //freopen("Input.txt","r",stdin);    int n;    while(~scanf("%d",&n))    {        int L = 0,R = 0;        for(int i=0;i<n;i++)        {            for(int t=0;t<2;t++)            {                scanf("%d",&tim[i][t]);                R = max(R,tim[i][t]);            }        }        while(L<R)        {            int mid=L+(R-L+1)/2;            if(test(mid,n))L=mid;            else R=mid-1;        }        printf("%d\n",L);    }    return 0;}