C++之求有向无环图的最长路径（拓扑排序+动态规划）

        最近在做求有向无环图的最长路径的问题，当然，求最长路径有许多方法，比如可以直接用Floyd算法来求，只需稍微改动一下，不过用拓扑排序+动态规划来做，百度搜索了一下，介绍这方面的资料不够完善，也许会让许多人不够清楚实现原理，在这里，我讲解一下自己的一些思路，分成四部分进行编程：

      一、创建有向无环图：

      我用的数据存储结构是邻接矩阵，如果用邻接表也是可以的。这里就不多作解释，直接进入关键代码部分。

        

      二、拓扑排序：

      官方解释是：对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

      用通俗的话来讲就是，比如你要选课A、B、C，但是读B要先选A，读A要先选C，所以，进行拓扑排序后，就是C、A、B。

      所以在创建图的时候，要用一个标志数组indegree[]来保存每个顶点的入度，另外，在进行下面求最长路径的时候，需要用到拓扑排序的结果，所以还需要一个数组topo[]来记录拓扑排序的结果。

      拓扑排序里，都先找到入度为0的顶点，然后把它取出来（让它的入度等于负数进行实现），保存在topo[]里面，接着更新其他与这个顶点相邻的其他顶点的入度，最后，循环即可。

     

     三、求最长路径：

     只要知道了动态规划的公式就好，这里直接给出公式maxPath[v]=max{maxPaht[v],maxPath[k]+e[k][v]}，其中maxPath[v]表示的是起始点到点v的最长路径,e[k][v]表示点k到点v的距离。这个公式的意思是，假如有A、B、C三个点，求maxPath[C]，要么直接取maxPath[C]，要么取maxPath[A]+e[A][C]，要么取maxPath[B]+e[B][C]。当然，这个公式的所需要的顶点需要按顺序取自拓扑排序的结果，否则，有可能在进行求maxPath[k]+e[k][v]的时候，maxPath[k]并不是最长的，造成结果出错。

   

       四、求最长路线：

     这个我想了挺久的，最后想到的方法是用一个二维矩阵（N*N）保存每一个点到点的最长路径，对第N列进行排序，取出第N列中最大的一个数a，记录下行号R和列号C（在v1—>v2中，行对应的是v1，列对应的是v2），然后把列号C压进栈里（输出的时候直接输出就是最长路线了），接着按照这个数字a的行号R找到相同数字的列号R'（比如a数字在的位置是[4][5]，行号是4，则找到第4列），令N=R‘，重复以上步骤即可。

     

    下面贴出源代码仅供参考：

    

#include <iostream>#include <algorithm>#include <stack>using namespace std;char *v;//顶点数组，下标为顶点号，值为顶点名称（用在创建有向无环图中）int **e;//边的二维矩阵（用在创建有向无环图中）int *indegree;//保存顶点入度数的数组（求拓扑排序）int *topo;//保存拓扑排序结果的数组（求拓扑排序）int *maxPath;//保存到此点的最长路径（求最长路径）//创建有向无环图void creatGraph(int vSize,int eSize){//初始化int i,j,k,c;char a,b;indegree=new int[vSize];topo=new int[vSize];    v=new char[vSize];e=new int*[vSize];for(i=0;i<vSize;i++) e[i]=new int[vSize];for(i=0;i<vSize;i++)for(j=0;j<vSize;j++)e[i][j]=0;for(i=0;i<vSize;i++){indegree[i]=0;topo[i]=0;}//建图cout<<endl<<"请输入各顶点名称：";for(i=0;i<vSize;i++)cin>>v[i];cout<<endl<<"请先后输入顶点V1和V2（表示V1->V2）以及权值，按换行键继续"<<endl;for(i=0;i<eSize;i++){    cin>>a>>b>>c;for(j=0;j<vSize;j++)    if(v[j]==a) break;for(k=0;k<vSize;k++)   if(v[k]==b) break;   e[j][k]=c;   indegree[k]++;//入度+1}}//拓扑排序void topologicalSort(int vSize){int i,j,k;for(i=0;i<vSize;i++) //vSize次循环{j=0;while(j<vSize&&indegree[j]!=0) j++;//找到入度为0的顶点topo[i]=j;//保存indegree[j]=-1;// 设结点j为入度为-1，以免再次输出jfor(k=0;k<vSize;k++)//更新其他入度点if(e[j][k]!=0)indegree[k]--;}}//最长路径void getMaxPath(int vSize){//初始化int i,j,k,v1,v2,max=0,**path,*p;maxPath=new int[vSize];            //保存最长路径，表示到顶点N的最长路径p=new int[vSize];                  //用来处理最长路线的选择顶点    path=new int*[vSize];           //用来保存点到点的最长路径矩阵for(i=0;i<vSize;i++) path[i]=new int[vSize];for(i=0;i<vSize;i++)for(j=0;j<vSize;j++)path[i][j]=0;for(i=0;i<vSize;i++){   maxPath[i]=0;p[i]=0;}//关键代码，求最长路径for(j=0;j<vSize;j++){v2=topo[j];for(k=0;k<j;k++){ v1=topo[k];             if(e[v1][v2]!=0)                     //表示有路                 {    if(maxPath[v1]+e[v1][v2]>maxPath[v2])                maxPath[v2]=maxPath[v1]+e[v1][v2];     if(maxPath[v2]>max) {        max=maxPath[v2];//保存长度    path[v1][v2]=max;      } }}}//求最长路线        stack<int> s;//保存线路for(i=vSize-1;i>0;){for(j=0;j<vSize;j++){p[j]=path[j][i];  }sort(p,p+vSize);int maxValue=p[j-1];if(maxValue!=0)  {    for(j=0;j<vSize;j++){    if(path[j][i]==maxValue){   s.push(i);   i=j;       if(i==0)  s.push(i);   break;}  }}}//输出结果cout<<endl<<"最长路径的长度是："<<max<<endl<<"最长路径为：";int len=s.size();for(i=0;i<len;i++){if(i!=0) cout<<" -> "; cout<<v[s.top()];    s.pop();}cout<<endl<<endl;}int main(){int vSize,eSize,i;while(1){cout<<"·请分别输入有向无环图的顶点数和边数：";cin>>vSize>>eSize;    creatGraph(vSize,eSize);//创建图        topologicalSort(vSize);//拓扑排序getMaxPath(vSize);//最长路径}return 0;}

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