【bzoj1101】[POI2007]Zap 莫比乌斯反演

Description

FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

24 5 26 4 3

Sample Output

32

HINT

对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（6,3），（3,3）。

Source

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求gcd(x,y)=d，相当于求gcd(x/d,y/d)=1的个数。相当于求1<=x<=a/d,1<=y<=b/d中x、y互质对数。

也就是∑ni=1∑mj=1e(gcd(i,j))。
根据莫比乌斯反演：

∑i=1n∑j=1me(gcd(i,j))

=∑i=1n∑j=1m∑d|i and d|jμ(d)

=∑d=1min(n,m)μ(d)∗⌊nd⌋∗⌊ｍd⌋

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两个整除可以根号时间内算出来(和这个挺像->【bzoj1257】[CQOI2007]余数之和sum 数论乱搞，因为两个区间要取相交的，所以代码里右区间端点要取min)，要预处理出来μ函数的前缀和。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;const int SZ = 1000010;typedef long long LL;bool vis[SZ];int pri[SZ],mu[SZ],sum_mu[SZ];int n,m;void get_mu(){    mu[1] = 1;    for(int i = 2,tot = 0;i <= 50010;i ++)    {        if(!vis[i]) pri[++ tot] = i,mu[i] = -1;        for(int j = 1,m;j <= tot && (m = i * pri[j]) <= 50010;j ++)        {            vis[m] = 1;            if(i % pri[j] == 0) { mu[m] = 0; break; }            else mu[m] = -mu[i];        }    }    for(int i = 1;i <= 50010;i ++)        sum_mu[i] = sum_mu[i - 1] + mu[i];}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    get_mu();    while(T --)    {        int d;        scanf("%d%d%d",&n,&m,&d);        n /= d; m /= d;        LL ans = 0;        for(int i = 1,r;i <= min(n,m);i = r + 1)        {            r = min(n / (n / i),m / (m / i));            ans += (LL) (sum_mu[r] - sum_mu[i - 1]) * (n / i) * (m / i);        }        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}