选择排序：简单选择、树形选择

选择排序(Selection Sort)

    经过一趟排序，可以从n-i+1(i=1,2...)个记录中选取关键字最小的记录作为有序序列中第i个记录。也就是说，每一趟排序，都会排好一个元素的最终位置。

最简单的是

    简单选择排序(Simple Selection Sort，也叫直接选择排序)

    简单选择排序的思想：在每一趟排序中，通过n-i次关键字的比较，从n-i+1个记录中选出关键字最小的记录，并和第i个记录交换，以此确定第i个记录的最终位置。简单说，逐个找出第i小的记录，并将其放到数组的第i个位置。

比较简单，直接看代码;

void SimpleSelectSort(int a[], int n)  //简单选择排序 {if(a && n>1){int index;for(int i=0; i<n; i++){index=i;for(int j=i+1; j<n; j++){if(a[j]<a[index])index=j;}if(i!=index){  //交换数据，方法多种a[i]^=a[index];a[index]^=a[i];a[i]^=a[index];} }}}

看下代码，两个for循环，每一个都与n有关，粗略估计时间复杂度是O(n^2)。

下面仔细计算一下：

    若初始序列是有序的，则无需移动元素。若是逆序的，则需移动3(n-1)(这个数字有问题！)。每确定一个元素的最终位置，swap()方法中一般3次移动，但确定了最小的，也同时确定了最大的。所以这个3(n-1)不可信。但无论如何，它都是线性的。

无论初始序列的情况如何，都必须进行 (n-1)+(n-2)+...2+1=n(n-1)/2 次比较。

综上所述，它的时间复杂度是O(n^2)。与我们的估计一样。

    简单选择有可以改进的地方。选择排序的主要操作在关键字的比较上。比如，在n个元素中选出最小的，要进行n-1次比较，而选出次最小的要进行n-2次比较...。为何下一趟排序，不能利用上一趟排序的比较信息呢？若是可以做到，则极大的减少下一趟排序的比较次数。下面介绍的树形选择排序(Tree Select Sort)就是针对这种情况进行改善的。

树形选择排序又叫锦标赛排序(Tournament Sort)。它类似于比赛的过程。如下图：

    叶子节点即是所有的参赛者，两两比较，胜出者参与下一轮，也就是说胜出者上升到父节点。若是参赛者为奇数个，则最后一个参赛者直接晋级。我们按从小到大排序，故小的胜出。上图树顶根节点即最后的胜出者。

    貌似我们只能得到最大或最小。是这样，这只是一趟排序的结果嘛。下一趟排序该如何进行呢？做法：把胜出者的兄弟节点上升到父节点位置。从此位置向上调整树。过程如下图：

    第二个胜出者是7(亚军)。显然这一趟排序，我们利用了上一趟的排序信息：8与23比较，8胜出。这一趟排序我们没有重复比较，这在元素较多时，效果更加明显。后面的以此类推，是否感觉到很简单呢？其实还有很多的细节(包括一些满二叉树的知识：内节点个数和外节点个数的关系，每一层多少节点……)。它的代码很不好写。如果没有弄明白过程，也很难看懂！

    比如，上文的黑体字：把胜出者的兄弟节点上升到父节点位置。看到这句话时，你是否想过：如果兄弟节点已经出局了呢？上图中，7出局后，5会被升上去，而5已经先于7出局了，这样做是否有问题呢？带着这些疑问，反复仔细看下面的代码(结合后面的提示)：

#include<iostream>     #include<math.h>#include<iomanip>using namespace std;typedef struct rec{int data;int index;bool active;   //节点未出局，则是true，其它false   }Rec;void fixUpTree(Rec* tree, int pos)  //从pos位置向上调整   {int i = pos;if (i % 2)   //i位于右子树  tree[(i - 1) / 2] = tree[i + 1];   //左孩子上升到父节点   elsetree[(i - 1) / 2] = tree[i - 1];   //右孩子上升到父节点   i = (i - 1) / 2;int j;while (i)     //上升到根节点，则终止循环   {i % 2 ? j = i + 1 : j = i - 1;     //确定i的兄弟j的下标   if (!tree[i].active || !tree[j].active)  //左右孩子有一个为空   {if (tree[i].active)tree[(i - 1) / 2] = tree[i];elsetree[(i - 1) / 2] = tree[j];}else  //左右孩子都不为空   {if (tree[i].data <= tree[j].data)tree[(i - 1) / 2] = tree[i];elsetree[(i - 1) / 2] = tree[j];}i = (i - 1) / 2;   //回到上一层   }}void TreeSelectSort(int a[], int n) //树形选择排序   {int i = 0;while (pow(double(2), i) < n)i++;int leaf = pow(2, i);   //完全二叉树叶子节点个数   int size = 2 * leaf - 1;   //树节点总数  提示3  Rec *tree = new Rec[size];  //顺序存储一棵树   for (i = 0; i < leaf; i++){if (i < n){//leaf-1是叶子节点的起始下标，想想是这样吗？tree[i + leaf - 1].data = a[i];tree[i + leaf - 1].index = i;tree[i + leaf - 1].active = true;}else//叶子节点下标从 leaf-1+n开始，后面都是空的，无此参赛者  tree[i + leaf - 1].active = false;    }i = leaf - 1;    //提示3  int j;while (i)   //上升到根节点，则终止循环   {j = i;while (j<2 * i)   //下面的提示4  {//无右节点或右节点已出局，即使存在右节点，其值域也比左节点大  if (!tree[j + 1].active || tree[j + 1].data>tree[j].data)  tree[(j - 1) / 2] = tree[j];elsetree[(j - 1) / 2] = tree[j + 1];j += 2;     //两两比较   }i = (i - 1) / 2;  //回到上一层    }i = 0;while (i < n - 1) //确定剩下的n-1个节点的次序   {a[i] = tree[0].data;tree[leaf - 1 + tree[0].index].active = false; //出局，不参与下一轮//每次出局后都需调整fixUpTree(tree, leaf - 1 + tree[0].index);i++;}a[n - 1] = tree[0].data;  //最后一个归位   delete[]tree;}

提示

1、理解了标志位active的作用，就可解释上面的疑问。

2、对一棵满二叉树按层次遍历顺序存储，下标从0开始。若i是父亲，则2*i+1是其左孩子，2*i+2是其右孩子。并且，无论i是左孩子还是右孩子，(i-1)/2都是其父亲。动动小手，画图理解哦！

3、对于满二叉树，外节点(叶子节点)数比内部节点(非叶节点)多一个。叶子节点的起始下标是leaf-1，leaf是叶子节点个数。不清楚就动手画图哦！

4、对于满二叉树，每一层最后一个节点的下标是第一个节点下标的2倍。

下面用主函数测试下：

int main(){cout << "------树形选择排序---by David---" << endl;int n;cout << "输入排序元素个数：";scanf_s("%d", &n);int *array = new int[n];int i = 0;while (i < n){scanf_s("%d", &array[i]);i++;}cout << "经过树形选择排序" << endl;TreeSelectSort(array, n);for (i = 0; i < n; i++)cout << setw(4) << array[i];cout << endl;delete[]array;system("pause");return 0;}

运行

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