POJ-1061 青蛙的约会-数论扩展欧几里德算法入门及推导

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4
#include<stdio.h>#include<iostream>using namespace std;__int64 t,p;__int64 gcd(__int64 a,__int64 b){    if(b==0)        return a;    else        return gcd(b,a%b);}void extend_gcd(__int64 a,__int64 b){    if(b==0)    {        t=1;        p=0;    }    else    {        extend_gcd(b,a%b);         __int64 temp=t;        t=p;        p=temp-a/b*p;    }}int main(){    __int64 x,y,n,m,l;    __int64 a,b,c,a1,b1,c1,count;   scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);        a=n-m;        b=l;        c=x-y;       if(c%gcd(a,b)!=0||m==n)        {            printf("Impossible\n");           return 0;        }            count=gcd(a,b);            a=a/count;            b=b/count;            c=c/count;            extend_gcd(a,b);        t*=c;        p*=c;        t=(t%b+b)%b;            printf("%lld\n",t);    return 0;}

扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程：
解不定方程ax  +  by  =  n的步骤如下:  
 
(1)计算gcd(a,  b).  若gcd(a, b)不能整除n，则方程无整数解；否则，在方程的两边同除以gcd(a, b)，
   得到新的不定方程a'x  +  b'y =  n'，此时gcd(a',  b')  =  1  
 
(2)求出不定方程a'x  +  b'y  =  1的一组整数解x0,  y0，则n'x0，n'y0是方程a'x  +  b'y  =  n'的一组整数解。  
 
(3)根据&@^%W#&定理，可得方程a'x +  b'y  =  n'的所有整数解为：  
    x  =  n'x0  +  b't  
    y  =  n'y0  -  a't  
   (t为整数)  
这也就是方程ax  +  by  =  n的所有整数解  
 
利用扩展的欧几里德算法，计算gcd(a,  b)和满足d  =  gcd(a,  b)  =  ax0  +  by0的x0和y0，
也就是求出了满足a'x0  +  b'y0  =  1的一组整数解。因此可得：  
x  =  n/d  *  x0  +  b/d  *  t  
y  =  n/d  *  y0  -  a/d  *  t  
(t是整数)   
*/
欧几里得模板：

__int64 gcd(__int64 a,__int64 b){    if(b==0)        return a;    else        return gcd(b,a%b);}辗转相除，原理：    定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)    证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b           假设d是a,b的一个公约数，则有    d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r    因此d是(b,a mod b)的公约数          假设d 是(b,a mod b)的公约数，则    d | b , d |r ，但是a = kb +r    因此d也是(a,b)的公约数    因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得         求（481,221）的最大公约数a=481，b=221；        （221,39）        （39,26）        （26,13）        （13,0）故最大公约数为13； void extend_gcd(__int64 a,__int64 b){    if(b==0)    {        t=1;        p=0;    }    else    {        extend_gcd(b,a%b);         __int64 temp=t;        t=p;        p=temp-a/b*p;    }}欧几里得扩展推导：
把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。 
   可以这样思考:  
  对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')  
  由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)  
  那么可以得到:  
  a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>  
  bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>    ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)  
  因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)