POJ 1061 青蛙的约会 欧几里德扩展

原题： http://poj.org/problem?id=1061

题目：

青蛙的约会
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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”
Sample Input

1 2 3 4 5
Sample Output

4

思路：

对于这个题，我们可以看成一个追击问题，假设其中一个人是不动的，那么另一个相对它的速度就是n-m，而最初的路径差是x-y，我们要求的就是在最快的时间让他们相遇。

我们可以建立这样的线性方程：速度 * 次数 - 圈数 * 周长=距离
然后我们用扩展欧几里德算法就可以解出这个方程，并求得最小的次数。

代码：

#include"cstdio"#include"iostream"using namespace std;typedef long long int lint;lint gcd(lint a,lint b){    if(b==0)    return a;    return gcd(b,a%b);}//ax+by=gcd(a,b)=cvoid exgcd(lint a,lint b,lint &x,lint &y){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return ;    }    exgcd(b,a%b,x,y);    lint t=x;    x=y;    y=t-y*(a/b);}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    lint m,n,x,y,l;    while(scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d %I64d",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)    {        //建立方程 速度*次数-圈数*周长=距离        lint a=(n-m+l)%l;        lint b=l;        lint c=(x-y+l)%l;        lint g=gcd(a,b);        //扩展欧几里得方程 必须满足ax+by=gcd(a,b)才有解        if(c%g)        {            printf("Impossible\n");            continue;        }        //约分        a=a/g;        b=b/g;        c=c/g;  //倍数        //分别记录次数和圈数        lint ans,q;        //解线性方程ax+by=1        exgcd(a,b,ans,q);        //c*ans为真正的总次数（还原约分）        //如果跑过了 周长 次，就跑过了 周长*速度 米        //那么就跑过了 速度 圈，这多了一个周期不是最优解        ans=c*ans%b;        //欧几里得方程求出的结果可能小于0        //那我们就多跑一个周期        if(ans<0)   ans=ans+b;        printf("%I64d\n",ans);    }    return 0;}