poj 1061 青蛙的约会 -扩展欧几里德算法

设过s步后两青蛙相遇，则必满足以下等式：

　　　　(x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....)

　　稍微变一下形得：

　　　　(n-m)*s+k*l=x-y

    令n-m=a,k=b,x-y=d,即

　　　　a*s+b*l=c

其实就是扩展欧几里德算法－求解不定方程 。 

　　只要上式存在正整数解，则两青蛙能相遇，否则不能。

对原方程 a * t + b * p = d，我们要求出一组t,p;

显然c一定是gcd(a,b)的倍数，否则，两边同时除以gcd(a,b),右边会得到小数，不合法;

从而d/gcd(a,b)一定是整数；

c=gcd(a,b);

所以我们只需要通过欧几里德扩展原理求得 a * t0 + b * p0 =gcd(a,b);

得到t0,然后t0*(d/c)便是最小的解了; （因为gcd(a,b)*d/c =d）

即方程： a * t0 *(d / c) + b * p0 * (d / c) = d; 但是t0可能是负数

我们做一点变换得到

a * ( t0 *(d / c) + b*n) + b * (p0 * (d / c) – a*n) = d; (n是自然数)    (+a*b*n-a*b*n)

所以解为t=  t0*(d/c)%b   ,while( t< 0 ){  t+= b;     }

那么怎么通过欧几里德扩展原理求t0呢？

就是对于 a*x+b*t=gcd(a,b) 这样一个方程，假设a>b，有两种情况

情况1、如果b=0,方程解为x=1;y=0;

情况2、如果ab！=0，

  设 a*x+b*y=gcd(a,b);   (1)

由1，以及欧几里德原理，在求gcd时，我们知道有gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

那么现在把(1)中的 a,b 替换成b,a%b，得到

    b * x0 + (a % b) * y0 = gcd( b, a % b);     (2)

联立两式，

a * x + b * y = b * x0 + (a % b) * y0

                     = b * x0 + (a – a / b * b) * y0               

                     = a * y0 + ( x0 – a / b * y0 ) * b

          所以得到 x = y0, y = x0 – a / b * y0;

而y0,x0就又得通过y1,x1来求得，也就是像求gcd一样，一直递归下去 ，直到最后a%b==0，

此时 的x0=1;y=0; （相当于情况1）

 以下是求扩展欧几里德的程序

void extend_euild(__int64 a, __int64 b){if (b==0){t=1;p=0;}else{extend_euild(b,a%b);__int64 tmp=t;t=p;p=tmp-a/b*p;}}

以下是ac代码： 

#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstring>#include <string>#include <algorithm>#include <iostream>#include <queue>#include <map>#include <set>#include <vector>using namespace std; __int64 gcdc(__int64 a,__int64 b){      if(b==0)          return a;           return gcdc(b,a%b);  }  __int64 t,p,c;void extend_euild(__int64 a, __int64 b){if (b==0){t=1;p=0;}else{extend_euild(b,a%b);__int64 tmp=t;t=p;p=tmp-a/b*p;}}int main(){__int64 x,y,n,m,l;scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l);if (m==n){          cout<<"Impossible"<<endl;          return 0;      }  __int64 a=n-m;__int64 b=l;__int64 d=x-y;  __int64 gcd=gcdc(a,b); if (d%gcd){printf("Impossible\n");return 0;}          extend_euild( a, b );                t*=  d/gcd ;        while( t< 0 )        {               t+= b;         }        printf( "%I64d\n", t%b );return 0;}