博弈经典例子

巴什博奕（Bash Game）:

 有两个游戏者：A和B。  有21颗石子。 两人轮流取走石子，每次可取1、2或3颗。 A先取。取走最后一颗石子的人获胜，即没有石子可取的人算输。如果剩下1、2或3颗石子，那么接下来取的人就能获胜；如果剩下4颗，那么无论接下来的人怎么取，都会出现前面这种情况，所以接下来取的人一定会输；如果剩下5、6或7颗石子，那么接下来取的人只要使得剩下4颗石子，他就能获胜。0，4，8，12，……都是下一个取石子者的必败状态。

现在有21颗石子，21除以4的余数是1，所以先走者有必胜的策略，他第一次只要取走1颗石子，以后每一次都保证剩下的石子是4的倍数就行了。什么是“平等组合游戏”？  

  两人游戏。   有一个状态集，而且通常是有限的。    规定哪些状态转移是允许的。   所有规定对于两人来说是一样的。    两人轮流走步。   有一个终止状态，到达终止状态后游戏即告终止。   游戏可以在有限步内终止。P状态和N状态就像第一个游戏一样，状态0，4，8，……是刚才走步的人的必胜状态，我们称之为P状态；而1，2，3，5，6，7，……都是下一个走步的人的必胜状态，我们称之为N状态。我们可以从终止状态出发，推出每一个状态，指出它是P状态还是N状态。

就拿第一个游戏举例：步骤一 将所有终止状态设为P状态。

    步骤二 将所有一步之内可以到达一个P状态的状态设为N状态。

    步骤三 如果一个状态，不管怎么走都只能走到N状态，那么就将这个状态设为P状态。

    步骤四 返回步骤二。如果能够走到P状态，就能获胜。因为安照上面的定义，对手不管如何选择，只可能走到N状态。接下来总存在一个P状态你可以走到。

这样一直走到终止状态，你获胜。当然这里所说得都是指对于最后走步的人获胜的游戏。我们严格的来定义P状态和N状态  所有的终止状态都是P状态；  对于任何的N状态，肯定存在一种方式可以一步转到一个P状态；  对于任何的P状态，不管怎么走步，都只能转到N状态。而对于最后走步的人失败的游戏，只要将所有终止状态改成N状态，然后开始倒推就可以了。当然，必胜状态是N状态。也就是说，如果想胜利，就希望面对N状态，转移到P状态。

现在对游戏1略微扩展一下。有一个决策集S，S中的元素是正整数。游戏的规则大致与游戏1一样，只是现在每次可以取的石子数必须是S中的元素。如果S={1，2，3}，那么就是游戏1。大家分析一下，当S={1，3，4}的时候，哪些状态是P状态，哪些是N状态。我们发现P状态是{0，2，7，9，14，16，……}，N状态是{1，3，4，5，6，8，10，……}。规律是如果n除以7的余数是0或2，那么状态n就是P状态，否则就是N状态。如果游戏开始时，石子总数是100，那么这是一个P状态，也就是说后走的人有必胜策略。