uva 10375 唯一分解定理 筛法求素数【数论】

唯一分解理论的基本内容：

任意一个大于1的正整数都能表示成若干个质数的乘积，且表示的方法是唯一的。换句话说，一个数能被唯一地分解成质因数的乘积。因此这个定理又叫做唯一分解定理。

举个栗子：50=(2^1)*(5^2) 

题目一般的思路就是要把素数表打出来，eg上面的例子 e={1,0,2,0,0......}

下面是两个题目，仅说说大致的思想：

题目一：

E=(X1*X3*X4* ...*Xk)/X2   判断E是不是整数

如果把(X1*X3*X4* ...*Xk)分解成素数相乘，将X2也分解成素数相乘，那么如果(X1*X3*X4* ...*Xk)能整除X2  则每一个素数的指数，必然是(X1*X3*X4* ...*Xk)中大于X2中，若有一个小于，则说明不是整数了。

题目二：

已知C（m，n）=m！/（n！(m-n！))，输入整数p，q，r，s，（p>=q，r>=s，pqrs<10000），计算C（p，q）/C（r，s），输出保证不超过10^8，保留五位小数。

初次看见这个题目是没有什么思路的，然后学了唯一分解理论之后有了一定的想法，

我们这样来想这个问题：我们把C（p，q）/C（r，s）=(p！*s！*（r-s）！)/(q！*（p-q）！*r！)  

C(p,q)/C(r,s) = [  p*(p-1)...(p-q+1) * s! ] / [ r*(r-1)....(r-s+1)*q! ]

但是不能全部乘起来再除（爆），也不能一边乘一边除（精度），把每个数字分解质因子，分子中分解出来的质因子，个数增加，分母分解出来的质因子，个数减少

最后查看所有的质因子，个数为正的要乘，个数为负的要除，要一边乘一边除否则又会爆

那么应该怎么写呢，根据以上讲的知识应该很容易理解思想了吧.......

下面附渣代码

#include<stdio.h>#include<iostream>#include<vector>#include<math.h>#include<cstring>using namespace std;#define maxn 10005int e[maxn];/**e代表的是各个素数的系数prime代表的是{2,3,5,7,11......}*//**vis数组标记为0则说明是素数*/int vis[maxn];void getPrimevis(int n){    int m=sqrt(n+0.5);    memset(vis,0,sizeof(vis));    for(int i=2; i<=m; i++)        for(int j=i*i; j<=n; j+=i) vis[j]=1;}/**prime数组:prime[]={2,3,5,7,11,13......}*/vector<int>prime;void getprimeprime(int n){    for(int i=2; i<=n; i++)        if(vis[i]==0) prime.push_back(i);}//将n变为素数存在e数组里面，对e数组进行一个加减的操作void add_integer(int n,int d){    for(int i=0; i<prime.size(); i++)    {        while(n%prime[i]==0) n/=prime[i],e[i]+=d;        if(n==1) break;    }}//表示把结果乘于（n!）^dvoid add_factorial(int n,int d){    for(int i=1; i<=n; i++) add_integer(i,d); //结果一个一个的乘进去，最后是n！}int main(){    int p,q,r,s;    getPrimevis(maxn-1);    getprimeprime(maxn-1);    while(cin>>p>>q>>r>>s)    {        memset(e,0,sizeof(e));        add_factorial(p,1);        add_factorial(q,-1);        add_factorial(p-q,-1);        add_factorial(r,-1);        add_factorial(s,1);        add_factorial(r-s,1);        double ans=1;        for(int i=0; i<prime.size(); i++) ans*=pow(prime[i],e[i]);        printf("%.5lf\n",ans);    }}