约瑟夫环问题

有这样一个故事：

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

解决这类问题，通常有两种方法：第一种是用链表来模拟，这种方法的复杂度比较高，而且实现起来也不容易，个人认为正在学习链表的同学可以那这个方法来练一练链表的相关操作。我们今天主要讲第二种方法，采用递归的思路，算法短小精悍，可以瞬间爆炸，一刀秒杀此类问题~

这第二种方法需要用到一些数学归纳的方法，跳出常规去思考问题。为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k，k+1，k+2  ... n-2，n-1， 0，1， 2， ... ，k-2，并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
  k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
       ...
       ...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

#include <iostream>using namespace std;int main(){    int n,k;    while(cin>>n>>k)    {        int ans = 0;        for(int i=2;i<=n;i++)            ans = (ans + k) % i;        cout<<ans+1<<endl;    }    return 0;}

最后，另附约瑟夫环的链表实现：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef struct _RingNode{    int pos;    struct _RingNode *next;}RingNode, *RingNodePtr;void CreateRing(RingNodePtr pHead, int count){    RingNodePtr pCurr = NULL, pPrev = NULL;    int i = 1;    pPrev = pHead;    while(--count > 0)    {        pCurr = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));        i++;        pCurr->pos = i;        pPrev->next = pCurr;        pPrev = pCurr;    }    pCurr->next = pHead; }void PrintRing(RingNodePtr pHead){    RingNodePtr pCurr;    printf("%d", pHead->pos);    pCurr = pHead->next;    while(pCurr != NULL)    {        if(pCurr->pos == 1)            break;        printf("\n%d", pCurr->pos);        pCurr = pCurr->next;    }}void KickFromRing(RingNodePtr pHead, int m){    RingNodePtr pCurr, pPrev;    int i = 1;    pCurr = pPrev = pHead;    while(pCurr != NULL)    {        if (i == m)        {            printf("\n%d", pCurr->pos);             pPrev->next = pCurr->next;            free(pCurr);            pCurr = pPrev->next;            i = 1;        }        pPrev = pCurr;        pCurr = pCurr->next;        if (pPrev == pCurr)        {            // 最后一个            printf("\n%d", pCurr->pos);            free(pCurr);            break;        }        i++;    }}int main(){    int m = 0, n = 0;    RingNodePtr pHead = NULL;    printf("N(person count) = ");    scanf("%d", &n);    printf("M(out number) = ");    scanf("%d", &m);    if(n <= 0 || m <= 0)    {        printf("Input Error\n");        system("pause");        return 0;    }    pHead = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));    pHead->pos = 1;    pHead->next = NULL;    CreateRing(pHead, n);    printf("\nKick Order: ");    KickFromRing(pHead, m);    printf("\n");    system("pause");    return 0;}